Algebra

Algebra est disciplina mathematica quae quantitates abstractiter a perspectiva aequationes solvendi considerat. In generalizatione quadam de arithmetica coepit, qua symbola loco numerorum substituta sunt. Haec ratio repperta est ut perutilis ad problemata solvenda quibus sunt relationes inter ignotas quantitates quasdam in aequationum forma.

Systemata Numerica Mathematicae
Numeri Elementarii
Naturales $\mathbb {N}$ {0,1,2,3,...} sive {1,2,3,...} Primi $\mathbb {P}$ {2,3,5,7,11,...} Abundantes Amicabiles Compositi Defectivi Perfecti Sociabiles Integri $\mathbb {Z}$ {...,-2,-1,0,+1,+2,...} Pares {...,-2,0,+2,...} Impares {...,-3,-1,+1,+3,...} Rationales $\mathbb {Q}$ Reales $\mathbb {R}$ Irrationales Complexi ℂ Algebraici Transcendentes Numerus pi $\pi =3.14159265358979\ldots$ Numerus Euleri $e=2.718281828459045\ldots$ Numerus imaginarius $i={\sqrt {-1}}$ Quaterni $\mathbb {H}$ Octoni $\mathbb {O}$ Infinitas $\infty$
Variae radices
Radix binaria(2) Radix octalis(8) Radix decimalis(10) Radix sedecimalis(16)

Vocabulum algebra primum Latine usurpatum est anno 1140, in translatione libri cuiusdam, cui titulus est Arabice الكتاب الجبر والمقابلة (Al-Kitab al-jabr wa-l-Muqabala), significans Liber Compendiosus de Computando per Perfectionem Compensationemque. Liber descripsit quomodo aequationes lineares vel quadraticas simples solvere possumus operationibus symbolicis utendo. Lingua Arabica, al-jabr significat motum quantitatis ad alterum latus aequationis subtractae. Sed haec est sola una pars totius artis algebraicae.

Algebra elementaris

Si plus cognoscere vis, vide etiam Algebra elementaris.

Algebra elementaris est congeries regularum quibus aequationes solvendae sunt. Exempli gratia, si

x+1=4

possumus de ambobus lateribus 1 subtrahere:

x+1-1=4-1

x+0=3

x=3

Solutio huius simplicissimae aequationis est ergo 3.

Regulae algebrae elementaris nobis dicunt licere quantitates aequales ad ambo aequationis latera addere, subtrahere, multiplicare, dividere.

Theoria numerorum

Si plus cognoscere vis, vide etiam Theoria numerorum.

In antiquitate omnes quantitates originabant in geometria et mathematici aequationes solvebant methodis geometricis. Saeculo quarto, librum Arithmetica a Diophanto scriptum notissimum fuit tantum pro numeros considerando sine iustificatione geometrica quantum pro usu symboli permonodico ad quantitatem ignotam designandam.^[1]

Diophantus, sicut alii mathematici suae aetatis, ad aequationes solvendas solos numeros naturales intuitur. Et notationes eius erant perprimitivae. Methodos subsequenter mathematici excoluerunt. Saeculo VIII liber celeber de algebra a Machometo ibn Musa al-Kwarizmi scriptus methodos de aequationes gradus secundi solvendo simplices ostendit, systema notationis algebraicum melius monstrans. Etiam ea aetate systema decimale Arabicum magnopere progressum mathematicae adiuvit.

Mille annis postea, ad aequationes magis intricatas solvendas, mathematicis oportuit novos numeros comperiri, sicut numeros irrationales et numeros complexos. Aequatio celeberrima, quae multos tales numeros simul proponit, est aequatio Euleri^[2]

e^{i\pi }=-1\,

ubi e = 2.71828... est numerus Euleri, i = ${\sqrt {-1}}$ unitas imaginaria, π = 3.14159... numerus pi, et -1 unitas negativa. Deinde anno 1806 Ioannes Robertus Argand demonstravit theorema fundamentale algebrae, quod dixit esse exactiter n solutiones distinctas cuique aequationi polynomiali gradus n

\Sigma _{k=0}^{n}\,c_{k}\,z^{k}=0

ubi $c_{k}$ sunt coefficientes valoribus complexis. Independenter postea Gauss ea theorema quoque demonstravit annis 1816 et 1849.

Saeculo undevicensimo, mathematici etiam novas structuras algebraicas e numeris factas comminiscerunt sicut quaterniones, vectores, matrices, et tensores. Tales sunt perutiles non modo ad simultanea aequationum systemata solvenda, sed hodie etiam ad computationes numericas computatris facendas.

Algebra abstracta

Si plus cognoscere vis, vide etiam Algebra abstracta.

Postquam tanti numeri novi definiuntur, nova algebrae abstractae disciplina incepta est ut numeri suarum operationum, sicut + et *, arithmeticarum contextu abstractiter meditetur et ut condiciones determinentur quibus aequationes algebraicas solvantur.

Res algebrae abstractae sunt numerorum generalizationes classificatae modo axiomatico secundum earum operationes:

Copia = rerum elementalium collectio quaedam sine aut cum operationibus inter elementa definitis.
Grex = copia clausa sub operatione invertibili associativaque, symbolo "+".
Grex abelianus vel commutativus = copia clausa sub operatione invertibili associativaque commuativaque, symbolo "+".
Anellus = grex abelianus etiam clausus sub secunda operatione symbolo "*" associativa, commutativa, invertibilique quae se distribuit super illam "+".
Corpus = anellus cuius elementa (zeri "0" excepto) sub operatione "*" quoque formant gregem abelianum.

His in definitionibus, oportet greges esse clausos sub operationibus definitis, id est, si 1 est in grege quodam oportet 1 + 1 quoque esse in eodem grege, et sic itidem alia gregis membra.

Mathematicus Francogallicus Evaristus Galois, qui primus fuit qui nomine grex (Francogallice groupe) usus est ad collectionem permutationum designandam, anno 1832 difficultatem magnam superavit, cum illas condiciones determinaret necessarias sufficientesque ad omnes aequationes polynomiales solvendas solo numeris realibus utendo.^[3] Sui labores nobis dederunt fundamentum theoriae Galois, quae pars maior algebrae abstractae hodie est. Tragice Galois solos duo et viginti annos vixit, in monomachia interfectus.

Algebra applicata

Res algebrae abstractae non sunt soli numeri et structurae numeris factae. Res quoque possumus definire e quoque collectione de qua operationes possumus definere sine contradictione. Specialiter, gregis membra possunt esse operationes logicae vel rerum symmetriae sicut circuitationes. Tales greges habent maximos usus in aliis partibus mathematicae, physicae, machinarum scientiaeque. Greges bene graves sunt ad aequationes differentiales solvendas, multas quaestiones physicales repraesentantes.

Disciplinae algebrae modernae

Algebra Latine in reti

1545 Hieronymi Cardani Artis Magnae, sive de Regulis Algebraicis Liber Unus: textus (ambo) totam rem accipere
1560 Iacobi Peletarii Cenomani De occulta parte numerorumquam algebram vocant, libri duo: prima pagina totam rem accipere
Post 1569: Francisci Maurolici Demonstratio Algebrae: textus
1661 Francisci à Schooten Tractatus de concinnandis Demonstrationibus Geometricis ex Calculo Algebraïco prima pagina^{[nexus deficit]}
1710 Miscellanea Berolinensia ad incrementum scientiarum I

p. 155 Leibnitii Monitum de Characteribus Algebraicis prima pagina^{[nexus deficit]}

p. 160 Leibnitii Symbolismus memorabilis calculi Algebraici et Infinitesimalis, in comparatione potentiarum et differentiarum; et de Lege Homogeneorum Transcendentali: prima pagina

p. 166 Philippi Naudaei Iunioris Regulae, qua inveniuntur omnes cuiuslibetcunque producti Algebraici divisores... prima pagina

1723 Miscellanea Berolinensia ad incrementum scientiarum II

p. 66 Philippi Naudaei Iunioris Regula, qua inveniuntur, omnes divisores cuiuscunque producti Algebraïci... prima pagina

1767 Hieronymi Saladini Methodus Bernoulliana de reducendis quatraturis transcendentibus ad longitudinem curvarum algebraicarum pagina prima
1799 Caroli Gauss Demonstratio Nova Theorematis Omnem Functionem Algebraicam Rationalem Integram Unius Variabilis in Factores Reales Primi vel Secundi Gradus Resolvi Posse: textus 2 3
1842 Witoldi Milewski De ramis infinitis curvarum algebraicarum ordinis 4 nexus
1845 Leopoldi Kronecker De unitatibus complexis nexus
1860 Hermanni Waldaestel De diametris curvisque conjugatis curvarum algebraicarum nexus
1863 Leonis Pochhammer De superficiei undarum derivatione nexus
1870 Leopoldi Loewenherz De curvis tangentialibus curvarum algebraicarum ordinis N nexus
1870 Eugenii Netto De Transformatione Aequationis yⁿ = R(x) nexus

Nexus interni

Notae

↑ "According to a generally accepted hypothesis of Heath’s, his sign for this was probably originally a contraction of the ﬁrst two letters, αρ, of the Greek word for number, αριθµoς." Norbert Schappacher (2005). Diophantus of Alexandria : a Text and its History (Anglice).
↑ Leonhardi Euleri Opera (in forma .pdf)
↑ Opera a Evaristo Galois scripta in linguis variis.

Nexus externi

[1] "According to a generally accepted hypothesis of Heath’s, his sign for this was probably originally a contraction of the ﬁrst two letters, αρ, of the Greek word for number, αριθµoς." Norbert Schappacher (2005). Diophantus of Alexandria : a Text and its History (Anglice).

[2] Leonhardi Euleri Opera (in forma .pdf)

[3] Opera a Evaristo Galois scripta in linguis variis.

[1]