Additio

Additio numerorum naturalium definiri potest per magnitudinem copiarum: summa est numerus elementorum copiae quae oritur ex confusione duarum copiarum disiunctarum quarum magnitudines sunt numeri summandi.

Cum subtractio est operatio inversa additionis, et numerus negativus est quasi quantitas ab aliqua alia subtrahenda, additio numerorum integrorum velut sequentia additionum vel subtractionum est. Sic 5+(-7)=-2, nam 5 addere, deinde 7 subtrahere idem est ac 2 subtrahere.

Ut numeri rationales addentur, primum necesse est eos cum eodem denominatore scribere, deinde numeratores addere. Sic ${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}+{\tfrac {4}{5}}={\tfrac {2\times 5}{3\times 5}}+{\tfrac {4\times 3}{5\times 3}}={\tfrac {10+12}{15}}={\tfrac {22}{15}}}$ 

Etiam alia structura ex numeris composita addi possunt:

• Summa sequentiarum est sequentia summarum.
• Summa functionum eiusdem domminii est functio cuius valor in omni punctio est summa valorum illarum functionum in hoc puncto.
• Summa matricum eiusdem dimensionis est matrix cuius elementa sunt summa elementorum illarum matricum in eodem loco.

In algebra abstracta additio est quasi fundamentum in nonnullis structuris, sicut spatio vectorum. In his additio per axiomata definitur.

Additio vulgo signo '+' notatur. Si sequentia finita aut infinita summanda est, etiam littera ∑ utitur. Sic ${\displaystyle a_{1}+a_{2}+...+a_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{n}}$ 

In temporibus Romanorum et signa + ac = aliam formam habebant.^[1]

Inter quantitates summandas relationes exstant has:

• summandas inter se commutari, ${\displaystyle a+b=b+a}$ , natura additionis commutativa
• summandas inter se quomodocumque sociari, ${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$ , natura additonis associativa
• summam quantitate multiplicanda sociatam inter summandas suas singula multiplicanda eadem sociatas distribui, ${\displaystyle a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)}$ , natura additionis distributiva.

Insuper

• zerum valorem additionis neutralem, ${\displaystyle a+0=0+a=a}$ .

Natura commutativa additione utramque quantitatem summandam inter se commutari licere, quin utraque summa varietur, significat.

Natura associativa commutativam extendit, ut additione omnes quantitates summandas inter se ex libidine commutari liceant, quin summae varientur.

Natura additionis distributiva, multiplicatione quamlibet quantitatem multiplicandam concipi posse summam, quae quomodocumque ceteris multiplicandis ipsis coniunctae distribuatur, quin summae varientur, significat, ut:

${\displaystyle a\cdot (b+c+d)=(a\cdot b)+(a\cdot c)+(a\cdot d)}$ , cum a=2, b=3, c=4, d=5

${\displaystyle 2\cdot (3+4+5)=(2\cdot 3)+(2\cdot 4)+(2\cdot 5)}$ , bis summa ex tres plus quattuor plus quinque valet bis tres plus bis quattuor plus bis quinque,

${\displaystyle 2\cdot 12=6+8+10}$ , bis duodecim valet sex plus octo plus decem

${\displaystyle 24=24}$ , utroque latere viginti quattuor valet.

• Tractatus praeliminaris Mathematicarum disciplinarum elementa