큰 기수

집합론에서 큰 기수(큰基數, 영어: large cardinal)는 집합론의 표준적인 공리계(선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론)로는 그 존재를 증명할 수 없는 매우 큰 기수이다.

큰 기수 공리는 명확히 정의되지 않는 용어이나, 대개 다음과 같은 성질을 만족시키는 공리 ${\displaystyle A}$를 큰 기수 공리로 여긴다.

• ${\displaystyle A}$는 "어떤 성질 ${\displaystyle P}$를 만족시키는 기수가 존재한다"의 꼴이다.
• ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}\vdash \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFC}})\implies \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFC}}+\lnot A)}$
  • 즉, 만약 ZFC가 일관적이라면, ZFC + "${\displaystyle P}$를 만족시키는 기수의 부재" 역시 일관적이다.
• ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+A\vdash \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFC}})}$
  • ZFC + "${\displaystyle P}$를 만족시키는 기수의 존재"는 ZFC의 일관성을 증명한다.

큰 기수는 큰 기수 공리에 의해 그 존재가 요구되는 기수이다.

큰 기수 공리들은 대체로 무모순성 세기에 대하여 전순서를 이루는 것으로 보인다. 즉, 두 큰 기수 공리 ${\displaystyle P_{1}}$, ${\displaystyle P_{2}}$에 대하여, 다음 가운데 하나가 성립한다.

• ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}\vdash \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFC}}+A_{1})\iff \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFC}}+A_{2})}$
• ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+A_{1}\vdash \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFC}}+A_{2})}$
• ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+A_{2}\vdash \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFC}}+A_{1})}$

이는 메타정리가 아니며, 단지 경험적인 관찰에 불과하다. 휴 우딘은 만약 오메가 추측(영어: Ω-conjecture)이 성립한다면 이 현상이 설명된다는 것을 보였다.

무모순성의 전순서는 기수의 크기의 전순서와 대체로 일치하나, 일반적으로 다르다. 예를 들어, 거대 기수(영어: huge cardinal)의 존재는 무모순성 세기에 따라서 초콤팩트 기수(영어: supercompact cardinal)의 존재보다 더 강력하나, 만약 거대 기수와 초콤팩트 기수가 둘 다 존재한다면, 가장 작은 거대 기수는 가장 작은 초콤팩트 기수보다 더 작다.

증가하는 무모순성 순서로 정렬한, 대표적인 큰 기수 공리들의 목록은 다음과 같다.

• 도달 불가능한 기수
• 말로 기수
• 반사 기수(영어: reflecting cardinal)
• 약콤팩트 기수
• 형언 불가능한 기수(영어: ineffable cardinal)
• 에르되시 기수(영어: Erdős cardinal)
• 램지 기수(영어: Ramsey cardinal)
• 가측 기수
• 강기수(영어: strong cardinal)
• 우딘 기수(영어: Woodin cardinal)
• 초강기수(영어: superstrong cardinal)
• 강콤팩트 기수
• 초콤팩트 기수
• 보펜카 기수(영어: Vopěnka cardinal)
• 공리 I3
• 공리 I2
• 공리 I1
• 공리 I0

• Kanamori, Akihiro (2003). 《The higher infinite: large cardinals in set theory from their beginnings》. Springer Monographs in Mathematics (영어) 2판. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-540-88867-3. ISBN 978-3-540-88866-6. ISSN 1439-7382. Zbl 1022.03033.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
• Kanamori, Akihiro; Magidor, Menachem (1978). 〈The evolution of large cardinal axioms in set theory〉 (PDF). Müller, Gert H.; Scott, Dana S. 《Higher Set Theory: Proceedings, Oberwolfach, Germany, April 13–23, 1977》. Lecture Notes in Mathematics (영어) 669. Springer-Verlag. 99–275쪽. doi:10.1007/BFb0103104. ISBN 978-3-540-08926-1. ISSN 0075-8434. 
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