위상동형사상

위상 공간 ${\displaystyle (X,T_{X})}$ 와 ${\displaystyle (Y,T_{Y})}$ 가 주어져 있다고 하고, ${\displaystyle f:X\to Y}$ 를 두 위상 공간 사이의 함수라고 하자. 만약 함수 ${\displaystyle f}$ 가 다음의 세 조건을 만족하면, ${\displaystyle f}$ 를 위상동형사상이라 한다.

• ${\displaystyle f}$ 는 전단사 함수이다.
• ${\displaystyle f}$ 는 연속 함수이다.
• 역함수 ${\displaystyle f^{-1}}$ 도 연속 함수이다.

만일 이러한 세 가지 조건을 만족시키는 함수가 두 위상 공간 사이에 존재하면 두 위상 공간이 서로 위상동형(영어: homeomorphic)이라고 한다.

• ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ 에서 단위원(unit circle)과 정사각형은 위상동형이다.
• 개구간 (-1, +1)과 실수 전체는 위상동형이다.
• 두 원의 곱공간인 ${\displaystyle S^{1}\times S^{1}}$ 과 2차원 원환면은 위상동형이다.
• ${\displaystyle n\neq m}$ 일 때, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 과 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ 은 위상동형이 아니다.
• 구와 원환면은 서로 위상동형이 아니다.

${\displaystyle f(\phi )=(\cos(\phi ),\sin(\phi ))}$ 로 정의된 함수 ${\displaystyle f:[0,2\pi )\to S^{1}}$ 는 전단사 함수이고 연속 함수이지만, 역함수가 연속 함수가 아니므로 위상 동형 사상이 아니다. (${\displaystyle S^{1}}$ 는 콤팩트 공간이지만 ${\displaystyle [0,2\pi )}$ 는 콤팩트 공간이 아니다.)

• 두 위상동형인 공간은 위상수학적 성질이 같다. 예를 들어 한 쪽이 콤팩트 공간이라면 다른 쪽도 그렇다. 만약 한 쪽이 연결 공간이라면 다른 쪽도 그렇다. 만약 한 쪽이 하우스도르프 공간이라면 다른 쪽도 그렇다.
• 위상동형사상은 열린 사상이며 닫힌 사상이다.

• 국소 위상동형사상
• 호모토피
• 미분동형사상
• 등거리 변환은 거리 공간들 사이의 동형사상이다.

• “Homeomorphism”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Homeomorphism”. 《PlanetMath》 (영어).