구간

원순서 집합 ${\displaystyle (X,\lesssim )}$ 의 두 원소 ${\displaystyle a,b\in X}$ 에 대하여,

${\displaystyle a\lesssim b\not \lesssim a}$ 

를 ${\displaystyle a<b}$ 로 표기하자.

원순서 집합 ${\displaystyle (X,\lesssim )}$ ^{[1]:11, Definition 11}의 두 원소 ${\displaystyle a,b\in X}$ 를 왼쪽·오른쪽 끝점으로 하는 열린구간과 닫힌구간 및 두 개의 반열린구간은 각각 다음과 같다 (두 끝점에 대하여 ${\displaystyle a<b}$  또는 ${\displaystyle a\lesssim b}$ 를 요구하기도 한다).

${\displaystyle (a,b)=\{x\in X\colon a<x<b\}}$ 

${\displaystyle [a,b]=\{x\in X\colon a\lesssim x\lesssim b\}}$ 

${\displaystyle (a,b]=\{x\in X\colon a<x\lesssim b\}}$ 

${\displaystyle [a,b)=\{x\in X\colon a\lesssim x<b\}}$ 

원순서 집합 ${\displaystyle (X,\lesssim )}$ 의 원소 ${\displaystyle a\in X}$ 를 왼쪽 끝점으로 하고, 오른쪽 끝점이 주어지지 않는 열린구간과 반열린구간은 각각 다음과 같다.

${\displaystyle (a,\infty )=\{x\in X\colon a<x\}}$ 

${\displaystyle [a,\infty )=\{x\in X\colon a\lesssim x\}}$ 

마찬가지로, 원순서 집합 ${\displaystyle (X,\lesssim )}$ 의 원소 ${\displaystyle b\in X}$ 를 오른쪽 끝점으로 하고, 왼쪽 끝점이 주어지지 않는 열린구간과 반열린구간은 각각 다음과 같다.

${\displaystyle (-\infty ,b)=\{x\in X\colon x<b\}}$ 

${\displaystyle (-\infty ,b]=\{x\in X\colon x\lesssim b\}}$ 

왼쪽·오른쪽 끝점이 주어지지 않는 (열린)구간은 ${\displaystyle X}$  전체이다.

${\displaystyle (-\infty ,\infty )=X}$ 

원순서 집합 ${\displaystyle (X,\lesssim )}$ 에서, 한쪽 또는 양쪽 끝점이 주어지지 않는 구간은 새로운 최대 원소와 최소 원소를 추가하여 얻는 원순서 집합

${\displaystyle X\sqcup \{-\infty ,\infty \}}$ 

${\displaystyle \forall x\in X\colon -\infty <x<\infty }$ 

의 두 원소를 두 끝점으로 하는 ${\displaystyle X\sqcup \{-\infty ,\infty \}}$ 의 구간으로 여길 수 있다. 예를 들어, 모든 실수 구간은 두 확장된 실수를 끝점으로 한다.

원순서 집합 ${\displaystyle (X,\lesssim )}$ 의 부분 집합 ${\displaystyle C\subseteq X}$ 가 다음 조건을 만족시키면, 순서 볼록 집합(영어: order-convex set)이라고 한다.

• 임의의 ${\displaystyle a,b\in C}$ 에 대하여, ${\displaystyle [a,b]\subseteq C}$ 

원순서 집합 ${\displaystyle (X,\lesssim )}$ 의 부분 집합 ${\displaystyle Y\subseteq X}$ 이 주어졌다고 하자. ${\displaystyle Y}$ 에 포함되는 ${\displaystyle X}$ 의 순서 볼록 집합들은 포함 관계에 따라 부분 순서 집합을 이룬다. 그 극대 원소를 ${\displaystyle Y}$ 의 순서 볼록 성분(영어: order-convex component)이라고 한다.^{[2]:Definition 5.1[3]:727} 초른 보조정리에 따라, ${\displaystyle Y}$ 에 포함되는 ${\displaystyle X}$ 의 임의의 순서 볼록 집합은 항상 ${\displaystyle Y}$ 의 순서 볼록 성분에 포함되지만, 이러한 성분이 유일할 필요는 없다. 만약 ${\displaystyle X}$ 가 전순서 집합이라면, ${\displaystyle Y}$ 의 순서 볼록 성분들은 ${\displaystyle Y}$ 를 분할한다. 즉, ${\displaystyle C\subseteq Y}$ 인 순서 볼록 집합 ${\displaystyle C\subseteq X}$ 를 포함하는 순서 볼록 성분은 유일하며, 이는 다음과 같다.

${\displaystyle \{y\in Y\colon \exists c\in C\colon [\min\{c,y\},\max\{c,y\}]\subseteq Y\}}$ 

모든 구간은 순서 볼록 집합이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

실수선 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 의 부분 집합 ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$ 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle I}$ 는 구간이다.
• ${\displaystyle I}$ 는 볼록 집합이다.
• ${\displaystyle I}$ 는 순서 볼록 집합이다.
• ${\displaystyle I=\varnothing }$ 이거나, ${\displaystyle I}$ 는 연결 공간이다.
• ${\displaystyle I=\varnothing }$ 이거나, ${\displaystyle I}$ 는 경로 연결 공간이다.
• ${\displaystyle I=\varnothing }$ 이거나, ${\displaystyle I}$ 는 호 연결 공간이다.

보다 일반적으로, 선형 연속체 ${\displaystyle (L,\leq )}$ 의 부분 집합 ${\displaystyle S\subseteq L}$ 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.^{[4]:153, Theorem 24.1}

• ${\displaystyle S}$ 는 구간이다.
• ${\displaystyle S}$ 는 순서 볼록 집합이다.
• ${\displaystyle S=\varnothing }$ 이거나, ${\displaystyle L}$ 에 순서 위상을 가했을 때 ${\displaystyle S}$ 는 연결 공간이다.

실수 구간의 폐포는 다음과 같다.^{[5]:214, Lemma 9.1.12}

${\displaystyle \operatorname {cl} (a,b)=\operatorname {cl} (a,b]=\operatorname {cl} [a,b)=\operatorname {cl} [a,b]=[a,b]}$ 

${\displaystyle \operatorname {cl} (a,+\infty )=\operatorname {cl} [a,+\infty )=[a,+\infty )}$ 

${\displaystyle \operatorname {cl} (-\infty ,a)=\operatorname {cl} (-\infty ,a]=(-\infty ,a]}$ 

${\displaystyle \operatorname {cl} (-\infty ,+\infty )=(-\infty ,\infty )}$ 

격자 ${\displaystyle L}$ 의 부분 집합 ${\displaystyle S\subseteq L}$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle S}$ 는 부분 격자이며, 순서 볼록 집합이다.
• ${\displaystyle S=I\cap F}$ 인 순서 아이디얼 ${\displaystyle I\subseteq L}$ 과 필터 ${\displaystyle F\subseteq L}$ 이 존재한다.

단위 구간

${\displaystyle [0,1]=\{x\in \mathbb {R} \colon 0\leq x\leq 1\}}$ 

은 0보다 크거나 그와 같고, 1보다 작거나 그와 같은 실수들의 집합이다. 구간

${\displaystyle (0,\infty )=\{x\in \mathbb {R} \colon x>0\}}$ 

은 모든 양의 실수들의 집합이다.

유리수의 전순서 집합 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 의 부분 집합

${\displaystyle \{x\in \mathbb {Q} \colon x^{2}<2\}\subseteq \mathbb {Q} }$ 

는 순서 볼록 집합이지만, (${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ 가 무리수이므로) ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 의 구간이 아니다.

• 호 (기하학)
• 부등식
• 선분
• 구간의 분할

• “Interval and segment”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Interval”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Interval”. 《nLab》 (영어).