어떤 운동방정식을 주는 라그랑지언은 유일하지 않다. 예를 들어, 고전역학의 라그랑지언 와 다음과 같은 좌표와 시간만의 임의의 함수 의 시간에 대한 전미분을 포함하는 라그랑지언
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을 비교해보자. 두 이들이 주는 작용의 차이는
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이므로 만큼 차이가 난다. 하지만 이는 상수이므로 여기에 변분을 취하면
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가 되어 최종적으로 다음과 같은 오일러-라그랑주 방정식을 얻게 되며 두 라그랑지언에 의해 얻게 되는 운동방정식은 같게 된다.
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일반적으로, 라그랑지언이 어떤 임의의 함수의 전미분만큼 달라도 같은 오일러-라그랑주 방정식을 얻는다.