구면좌표계

세 좌표의 표시를 위한 여러 가지 다른 약속이 존재한다. 국제 표준 기구의 지침(ISO 31-11)에 따라 물리학에서는 (r, θ, φ)의 문자를 사용하여 원점에서의 거리, 천정과 이루는 각도(천정거리), 방위각 등을 표시하고, (미국의) 수학에서는 고도와 방위각이 바뀌어 'φ'와 'θ'로 표시된다.^[1]

좌표 ${\displaystyle (r,\theta ,\phi )}$ 는 다음과 같이 정의 된다. 주어진 점을 P라 하자.

• ${\displaystyle \color {Blue}r}$  : 원점으로부터 P까지의 거리.
• ${\displaystyle \color {Blue}\theta }$  : z축의 양의 방향으로부터 원점과 P가 이루는 직선까지의 각
• ${\displaystyle \color {Blue}\phi }$  : x축의 양의 방향으로부터 원점과 P가 이루는 직선을 xy평면에 투영시킨 직선까지의 각.

구면좌표계의 경우는 좌표값에 따라 한 점을 여러 좌표가 가리키는 경우가 있으므로, 각 변수의 범위를 보통 아래와 같이 제한한다.

${\displaystyle r\geq 0}$ 

${\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi }$ 

${\displaystyle 0\leq \phi <2\pi }$ 

다른 3차원 좌표계로 변환하는 공식은 다음과 같다.

• 직교좌표계에서 구면좌표계로 변환시:

${\displaystyle {\begin{aligned}r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\\theta &=\arccos {\frac {z}{r}}\\\phi &=\arctan {\frac {y}{x}}\end{aligned}}}$ 

• 구면좌표계에서 직교좌표계로 변환시:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\sin \theta \cos \phi \\y&=r\sin \theta \sin \phi \\z&=r\cos \theta \end{aligned}}}$ 

${\displaystyle {\delta }=90^{\circ }-\theta }$ , or

${\displaystyle {\theta }=90^{\circ }-\delta }$ ,

• 원통좌표계에서 구면좌표계로 변환시:

${\displaystyle r={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}}$ 

${\displaystyle {\theta }=\operatorname {arctan} {\frac {\rho }{z}}}$ 

${\displaystyle {\varphi }=\varphi \quad }$ 

• 구면좌표계에서 원통좌표계로 변환시:

${\displaystyle \rho =r\sin \theta \,}$ 

${\displaystyle \varphi =\varphi \,}$ 

${\displaystyle z=r\cos \theta \,}$ 

각 단위벡터의 직교좌표에서의 표현은 다음과 같다.

${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}={\frac {\frac {d\mathbf {r} }{dr}}{\left|{\frac {d\mathbf {r} }{dr}}\right|}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \cos \phi \\\sin \theta \sin \phi \\\cos \theta \end{bmatrix}}}$ 

${\displaystyle {\hat {\mathbf {\theta } }}={\frac {\frac {d\mathbf {r} }{d\theta }}{\left|{\frac {d\mathbf {r} }{d\theta }}\right|}}={\begin{bmatrix}\cos \theta \cos \phi \\\cos \theta \sin \phi \\-\sin \theta \end{bmatrix}}}$ 

${\displaystyle {\hat {\mathbf {\phi } }}={\frac {\frac {d\mathbf {r} }{d\phi }}{\left|{\frac {d\mathbf {r} }{d\phi }}\right|}}={\begin{bmatrix}-\sin \phi \\\cos \phi \\0\end{bmatrix}}}$ 

${\displaystyle {\frac {\partial {\hat {r}}}{\partial r}}=0}$ 

${\displaystyle {\frac {\partial {\hat {\theta }}}{\partial r}}=0}$ 

${\displaystyle {\frac {\partial {\hat {\phi }}}{\partial r}}=0}$ 

${\displaystyle {\frac {\partial {\hat {r}}}{\partial \theta }}={\hat {\theta }}}$ 

${\displaystyle {\frac {\partial {\hat {\theta }}}{\partial \theta }}=-{\hat {r}}}$ 

${\displaystyle {\frac {\partial {\hat {\phi }}}{\partial \theta }}=0}$ 

${\displaystyle {\frac {\partial {\hat {r}}}{\partial \phi }}=\sin \theta {\hat {\phi }}}$ 

${\displaystyle {\frac {\partial {\hat {\theta }}}{\partial \phi }}=\cos \theta {\hat {\phi }}}$ 

${\displaystyle {\frac {\partial {\hat {\phi }}}{\partial \phi }}=-\cos \theta {\hat {\theta }}-\sin \theta {\hat {r}}}$ 

면적 요소

${\displaystyle {d\mathbf {a} }=r^{2}\sin \theta d\theta d\phi }$ 

부피 요소

${\displaystyle \,{dV}=r^{2}\sin \theta drd\theta d\phi }$ 

기울기

${\displaystyle \nabla ={\hat {r}}{\frac {\partial }{\partial r}}+{\hat {\theta }}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\hat {\phi }}{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \phi }}}$ 

발산

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}r^{2}F_{r}+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\sin \theta F_{\theta }+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \phi }}F_{\phi }}$ 

회전

${\displaystyle \nabla \times F={\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\begin{vmatrix}{\hat {r}}&r{\hat {\theta }}&r\sin \theta {\hat {\phi }}\\\\{\frac {\partial }{\partial r}}&{\frac {\partial }{\partial \theta }}&{\frac {\partial }{\partial \phi }}\\\\F_{r}&rF_{\theta }&r\sin \theta F_{\phi }\end{vmatrix}}}$ 

라플라시안

${\displaystyle \nabla ^{2}={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}r^{2}{\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}}$ 

• 직교 좌표계
• 원통 좌표계
• 적도 좌표계
• 초구면 좌표계
• 극좌표계
• 구면 조화 함수