Люк теоремасы

Математикада, Люк теоремасы деп ${\displaystyle {\binom {m}{n}}}$ биномдық коэффициенттің p жай санға бөлгендегі қалдық туралы тұжырымдаманы айтады:

${\displaystyle {\binom {m}{n}}\equiv \prod _{i=0}^{k-1}{\binom {m_{i}}{n_{i}}}{\pmod {p}},}$

мұндағы ${\displaystyle m=(m_{k-1},\dots ,m_{0})_{p}}$ және ${\displaystyle n=(n_{k-1},\dots ,n_{0})_{p}}$ — m мен n сандарының p-лық санақ жүйесіндегі өрнектелуі.

Жекеше түрде, ${\displaystyle {\binom {m}{n}}}$ биномдық коэффициент p жай санына бүтіндей сонда тек сонда, егер n санының кем дегенде бір p-лық цифры m санының сйкес цифрынан асса бөлінеді.

Бұл теореманы алғашқы рет Люка Франсуа Эдуард Анатоль 1878 жылы ашқан.

${\displaystyle GF(p)}$ Шекті өрісіндегі ${\displaystyle (x+1)^{m}}$ көпмүшелігіндегі ${\displaystyle x^{n}}$ мүшесіндегі коэффициентті қарастырайық. Бір жағынан ол — ${\displaystyle {\binom {m}{n}}}$. Ал басқа жағынан,

${\displaystyle (x+1)^{m}=\prod _{i=0}^{k-1}(x+1)^{m_{i}p^{i}}\equiv \prod _{i=0}^{k-1}(x^{p^{i}}+1)^{m_{i}}{\pmod {p}},}$

болғандықтан соңғы көбейтіндіден ${\displaystyle x^{n}}$ коэффициентін алу үшін нөлдік көбейткіштен ${\displaystyle x^{n_{0}}}$ дегі коэффицинтті алып, ал біріншіден — ${\displaystyle x^{n_{1}p}}$ коэффициентін, жалпы ${\displaystyle i}$-ші көбейткіштен — ${\displaystyle x^{n_{i}p^{i}}}$ коэффициентін. Коэффициенттерді теңестіре, табатынымыз: ${\displaystyle {\binom {m}{n}}\equiv \prod _{i=0}^{k-1}{\binom {m_{i}}{n_{i}}}{\pmod {p}}.}$

• E. Lucas (1878). "Théorie des Fonctions Numériques Simplement Périodiques". American Journal of Mathematics 1 (2): 184–196. doi:10.2307/2369308. ISSN 0002-9327. Үлгі:MR.  (part 1);
• E. Lucas (1878). "Théorie des Fonctions Numériques Simplement Périodiques". American Journal of Mathematics 1 (3): 197–240. doi:10.2307/2369311. Үлгі:MR.  (part 2);
• E. Lucas (1878). "Théorie des Fonctions Numériques Simplement Périodiques". American Journal of Mathematics 1 (4): 289–321. doi:10.2307/2369373. Үлгі:MR.  (part 3)
• A. Granville (1997). "Arithmetic Properties of Binomial Coefficients I: Binomial coefficients modulo prime powers". Canadian Mathematical Society Conference Proceedings 20: 253-275. Үлгі:MR. http://www.dms.umontreal.ca/%7Eandrew/PDF/BinCoeff.pdf.