開立法

開立法（かいりつほう、かいりゅうほう、extraction of cubic root）は、正の実数の立方根の小数による近似値を求める方法の1つである。開立とも。立方根を求めることを開立するという。開法の一種。

開立する場合、以下の三乗九九を用いる。1/3九九を用いる場合もある。

表：立方九九

計算	暗唱方法
${\displaystyle 1^{3}=1}$	いんいちがいち
${\displaystyle 2^{3}=8}$	ににんがはち
${\displaystyle 3^{3}=27}$	さざんにじゅうしち
${\displaystyle 4^{3}=64}$	ししろくじゅうし
${\displaystyle 5^{3}=125}$	ごごひゃくにじゅうご
${\displaystyle 6^{3}=216}$	ろくろくにひゃくじゅうろく
${\displaystyle 7^{3}=343}$	しちしちさんびゃくしじゅうさん
${\displaystyle 8^{3}=512}$	はっぱごひゃくじゅうに
${\displaystyle 9^{3}=729}$	くくななひゃくにじゅうく

開立の近似計算法には、次の代数式を用いる。

${\displaystyle (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}}$

ここで、${\displaystyle a\gg b}$とすると、

${\displaystyle (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b}$

${\displaystyle b={\frac {(a+b)^{3}-a^{3}}{3a^{2}}}}$

である。両辺にaを加えて、

${\displaystyle a+b=a+{\frac {(a+b)^{3}-a^{3}}{3a^{2}}}}$

となる。この式の左辺を近似立方根、右辺の${\displaystyle (a+b)^{3}}$を与えられた数として扱う。ただし、${\displaystyle a^{3}}$は与えられた数に最も近い完全立方数である。

また、

${\displaystyle (a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}}$

を用いて、${\displaystyle a\gg b}$として、

${\displaystyle (a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b}$

${\displaystyle b={\frac {a^{3}-(a-b)^{3}}{3a^{2}}}}$

である。したがって、

${\displaystyle a-b=a-{\frac {a^{3}-(a-b)^{3}}{3a^{2}}}}$

この式の左辺を近似立方根、右辺の${\displaystyle (a-b)^{3}}$を与えられた数として扱う。ただし、${\displaystyle a^{3}}$は与えられた数に最も近い完全立方数である。

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{1361}}}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{1000}}=10,~{\sqrt[{3}]{1331}}=11,~{\sqrt[{3}]{1728}}=12}$と${\displaystyle {\sqrt[{3}]{1361}}}$に近い数を求めると、${\displaystyle {\sqrt[{3}]{1331}}}$が最も近い数であることがわかる。

計算式(1)を用いて、${\displaystyle (a+b)^{3}=1361,~a=11,~a^{3}=1331}$として求める数${\displaystyle a+b}$は、

${\displaystyle a+b=11+{\frac {1361-1331}{3\times 11^{2}}}=11.08264463\cdots }$

となる。電卓により計算すると、

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{1361}}\fallingdotseq 11.08203137\cdots }$

であり近似計算できることがわかる。

• 立方が整数のとき：立方の1の位から左へ3けたずつ区分して、その区分できた回数が、根のけた数となる。
• 立方が帯小数のとき：立方の1の位から左へ3けたずつ区分して、その区分できた回数が、根の整数のけた数となる。
• 立方が小数のとき：立方の小数点以下の0を3けたずつ区分して、その区分できた回数が、根の小数点以下の0のけた数となる。

例：${\displaystyle {\sqrt[{3}]{314432}}=68}$

	立方の1の位から左へ3けたずつ区分して、根が2けたであることを調べる。（根の定位による）
	最後の区分された数314に含まれている立方根6を求めて、初根6をおき、初根6の3乗（${\displaystyle 6^{3}=216}$）を314から引く。
	初根6の3倍の18を、左におき、その18で残りの立方を、初根6の右４けために商を得るけたまで割る。
	54を初根6で割って次根8を求める。
	8×1=8を引く。 次根8の2乗（${\displaystyle 8^{2}=64}$）を66から引く。
	残った2に左の18を掛ける。（余りのかけ戻し）
	次根8の3乗（${\displaystyle 8^{3}=512}$）を引く。
	立方根は68である。

関数電卓でない普通の電卓でも、開平を行う√キーさえあれば立方根を求めることができる。

• まず与えられた数を入力し、×=の順にキーを押す。ただしカシオの電卓に限り、××と押す（定数計算モードを示す「K」が表示される）。
• √√と押す。このときに表示された数値の末尾数桁を記憶しておく。
• 次に=を押す。定数計算により、表示された数に最初の数が掛けられる。
• また√√と押す。表示された数値の末尾数桁が先程と同じ数値であれば、その数値が立方根となる。同じでなければ前項に戻って繰り返す。

• 開平法