Normalizzazione (matematica)

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In matematica, per normalizzazione si intende il procedimento di dividere tutti i termini di un'espressione per uno stesso fattore in modo che l'espressione risultante abbia una certa norma uguale a 1.

In uno spazio vettoriale dotato di prodotto interno e di norma si chiama normalizzazione il procedimento che dato un vettore lo porta ad avere norma unitaria.

Una situazione comune in cui si utilizza questo procedimento è nella costruzione di una base ortonormale (o sistema ortonormale, s.o.n.) dello spazio vettoriale. Supponiamo di essere in uno spazio vettoriale di dimensione ${\displaystyle n}$ e di conoscere già una base completa di vettori che siano tra loro ortogonali; siamo cioè nel caso in cui gli ${\displaystyle n}$ vettori componenti dell'insieme

${\displaystyle B_{O}\ ={\big \{}b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}{\big \}}}$

costituiscono una base ortogonale.

Per ottenere una base ortonormale, basta prendere singolarmente ciascuno di questi ${\displaystyle n}$ vettori e dividerli ciascuno per il valore della propria norma (si noti che si tratta di una divisione per uno scalare, perché la norma di un vettore è uno scalare).

${\displaystyle u_{i}={\frac {b_{i}}{\left\|b_{i}\right\|}}\ \ \ i=1,2,\dots n,}$

ognuno dei vettori ${\displaystyle u_{i}}$ così ottenuti avrà norma unitaria (sarà quindi anche un versore). Inoltre, questi vettori saranno tra loro ortogonali. Pertanto l'insieme

${\displaystyle B_{u}\ ={\big \{}u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n}{\big \}}}$

costituisce una base ortonormale dello spazio vettoriale normato.

Lo spazio vettoriale delle funzioni integrabili di variabile reale è dotato di una seminorma; procedendo come sopra, è possibile normalizzare qualunque tra queste funzioni abbia seminorma non nulla.

In particolare, una funzione ${\displaystyle f}$ di variabile reale, integrabile, sempre positiva (o sempre negativa), con integrale non nullo,

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=a>0}$

può essere riscalata per ${\displaystyle a,}$ dando origine a una funzione di densità di probabilità:

${\displaystyle g(x)={\frac {1}{a}}f(x)\geq 0}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }g(x)dx={\frac {1}{a}}\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=1.}$

Questo è un caso particolare di una misura di probabilità ottenuta normalizzando la misura di uno spazio misurabile, con la condizione che lo spazio stesso abbia misura finita e non nulla.

Un esempio nel calcolo delle probabilità è la probabilità condizionata da un evento B, di probabilità non nulla (è certamente finita): questa è ottenuta restringendo lo spazio degli eventi a B e normalizzando la misura.

In trigonometria la normalizzazione è un metodo per la risoluzione delle equazioni lineari in seno e coseno, chiamato anche metodo dell'angolo aggiunto. Per risolvere un'equazione del tipo:

${\displaystyle a\sin x+b\cos x+c=0.}$

Si dividono entrambi i membri per ${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.}$

Questa quantità è diversa da zero, a meno che sia ${\displaystyle a}$ che ${\displaystyle b}$ siano nulli, nel qual caso l'equazione di partenza degenera nel caso banale ${\displaystyle c=0.}$

Si ottiene:

${\displaystyle {\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\sin x+{\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\cos x+{\frac {c}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}=0.}$

Notiamo ora che i due coefficienti ${\displaystyle {\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}$ e ${\displaystyle {\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}$ sono entrambi, in modulo, minori di 1, e inoltre la somma dei loro quadrati è 1; pertanto essi possono essere considerati come seno e coseno di uno stesso angolo ${\displaystyle \varphi }$. Si ha quindi:

${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}$

${\displaystyle \sin \varphi ={\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}$

Ora l'equazione iniziale diventa:

${\displaystyle \cos \varphi \sin x+\sin \varphi \cos x+{\frac {c}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}=0,}$

da cui si ottiene

${\displaystyle \sin(x+\varphi )=-{\frac {c}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}$

Da questa equazione si può ora facilmente determinare il valore dell'angolo ${\displaystyle x+\varphi }$, e poiché il valore dell'angolo ${\displaystyle \varphi }$ è noto, si può facilmente ricavare anche l'angolo incognito ${\displaystyle x.}$

• Versore
• Ortonormalizzazione di Gram-Schmidt

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