Matrice dei cofattori

In matematica, in particolare in algebra lineare, la matrice dei cofattori di una matrice quadrata ${\displaystyle A}$ di ordine ${\displaystyle n}$, detta anche matrice dei complementi algebrici, è un'altra matrice quadrata di ordine ${\displaystyle n}$ il cui elemento nella posizione generica ${\displaystyle i,j}$ è il cofattore (o complemento algebrico) di ${\displaystyle A}$ relativo alla posizione ${\displaystyle i,j}$, così definito:

${\displaystyle \mathrm {cof} _{i,j}(A):=(-1)^{i+j}\cdot \det(A_{i,j})}$

qui il termine ${\displaystyle \det(A_{i,j})}$ rappresenta il minore di ${\displaystyle A}$ ottenuto cancellando la riga ${\displaystyle i}$-esima e la colonna ${\displaystyle j}$-esima.

Quindi la matrice dei cofattori è la seguente:

${\displaystyle \mathrm {cof} \,A={\begin{pmatrix}\mathrm {cof} _{1,1}(A)&\ldots &\mathrm {cof} _{1,n}(A)\\\vdots &\ddots &\vdots \\\mathrm {cof} _{n,1}(A)&\ldots &\mathrm {cof} _{n,n}(A)\\\end{pmatrix}}.}$

La trasposta della matrice dei cofattori è detta matrice aggiunta (benché questo termine indichi anche la matrice trasposta coniugata) ed è indicata con l'operatore ${\displaystyle \mathrm {adj} }$, dall'inglese adjoint matrix.

Quindi:

${\displaystyle \mathrm {adj} \,A=(\mathrm {cof} \,A)^{T}.}$

La matrice aggiunta soddisfa le proprietà seguenti:

• ${\displaystyle \mathrm {adj} (I)=I}$, dove ${\displaystyle I}$ è la matrice identità
• ${\displaystyle \mathrm {adj} (A\cdot B)=\mathrm {adj} (B)\cdot \mathrm {adj} (A)}$
• ${\displaystyle A\cdot \mathrm {adj} (A)=\mathrm {adj} (A)\cdot A=\det(A)\cdot I}$

conseguenza dello sviluppo di Laplace. Quindi se ${\displaystyle A}$ è invertibile, l'inversa è data da:

${\displaystyle A^{-1}=\det(A)^{-1}\cdot \mathrm {adj} (A)}$

• ${\displaystyle \det(\mathrm {adj} (A))\,=\,\det(A)^{n-1}}$

L'aggiunta della matrice

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$

è la matrice

${\displaystyle \operatorname {adj} (A)={\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}.}$

Si noti che

${\displaystyle \det(\operatorname {adj} (A))=\det(A)=ad-bc}$

e che

${\displaystyle \operatorname {adj} (\operatorname {adj} (A))=A.}$

Data la matrice ${\displaystyle 3\times 3}$

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}},}$

la sua matrice aggiunta è uguale alla trasposta della matrice dei cofattori

${\displaystyle \operatorname {adj} (A)=(\mathrm {cof} \,\mathbf {A} )^{T}={\begin{pmatrix}+\left|{\begin{matrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{matrix}}\right|\\&&\\-\left|{\begin{matrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{13}\\a_{21}&a_{23}\end{matrix}}\right|\\&&\\+\left|{\begin{matrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{matrix}}\right|\end{pmatrix}},}$

dove

${\displaystyle \left|{\begin{matrix}a_{im}&a_{in}\\\,\,a_{jm}&a_{jn}\end{matrix}}\right|=\det \left({\begin{matrix}a_{im}&a_{in}\\\,\,a_{jm}&a_{jn}\end{matrix}}\right)=a_{im}a_{jn}-a_{in}a_{jm}.}$

Sia data la matrice ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}}}$. Utilizzando la formula precedente, la sua aggiunta è data da

${\displaystyle \operatorname {adj} (A)=(\mathrm {cof} \,A)^{T}={\begin{pmatrix}+\left|{\begin{matrix}5&6\\8&9\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}2&3\\8&9\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}2&3\\5&6\end{matrix}}\right|\\&&\\-\left|{\begin{matrix}4&6\\7&9\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}1&3\\7&9\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}1&3\\4&6\end{matrix}}\right|\\&&\\+\left|{\begin{matrix}4&5\\7&8\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}1&2\\7&8\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}}\right|\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-3&6&-3\\6&-12&6\\-3&6&-3\end{pmatrix}}.}$

Un secondo esempio è il seguente:

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}2&1&1\\0&-1&2\\0&2&-1\end{pmatrix}};}$

${\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{pmatrix}-3&3&3\\0&-2&-4\\0&-4&-2\end{pmatrix}}.}$

• (EN) Gilbert Strang, Section 4.4: Applications of determinants, in Linear Algebra and its Applications, 3rd, Harcourt Brace Jovanovich, 1988, pp. 231–232, ISBN 0-15-551005-3.

• Determinante
• Matrice
• Matrice invertibile
• Matrice trasposta
• Minore (algebra lineare)

• (EN) Eric W. Weisstein, Self-Adjoint, in MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Matrix Reference Manual, su ee.ic.ac.uk.
• (EN) Online matrix calculator (determinant, track, inverse, adjoint, transpose) Compute Adjugate matrix up to order 8
• (EN) adjugate of { { a, b, c }, { d, e, f }, { g, h, i } }, su Wolfram Alpha.

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