Funzione localmente integrabile

In matematica, una funzione localmente integrabile è una funzione che è integrabile su ogni sottoinsieme compatto del dominio.

Detto ${\displaystyle U}$ un insieme aperto nello spazio euclideo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ e ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {C} }$ una funzione misurabile rispetto alla sigma-algebra di Lebesgue, se l'integrale di Lebesgue:

${\displaystyle \int _{K}|f|\,d\mu }$

esiste finito per ogni sottoinsieme compatto ${\displaystyle K}$ in ${\displaystyle U}$, allora ${\displaystyle f}$ è detta localmente integrabile.

Le funzioni localmente integrabili giocano un ruolo importante nella teoria delle distribuzioni, e compaiono nel teorema di Radon-Nikodym.

Sia ${\displaystyle \Omega }$ un insieme aperto di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ e ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\Omega )}$ l'insieme delle funzioni infinitamente differenziabili ${\displaystyle \varphi \colon \Omega \to \mathbb {C} }$ a supporto compatto definite su ${\displaystyle \Omega }$. Una funzione ${\displaystyle f\colon \Omega \to \mathbb {C} }$ tale che:

${\displaystyle \int _{\Omega }|f\varphi |\,\mathrm {d} x<+\infty ,\qquad \forall \varphi \in C_{c}^{\infty }(\Omega )}$

è detta localmente integrabile. L'insieme di tutte queste funzioni è denotato con ${\displaystyle L_{\mathrm {loc} }^{1}(\Omega )}$.

Questa definizione trova le sue radici nell'approccio alla teoria della misura e dell'integrazione basato sul concetto di operatore lineare continuo in uno spazio vettoriale topologico, sviluppato dal gruppo Nicolas Bourbaki e altri, ed utilizzato spesso nell'ambito dell'analisi funzionale. In particolare la definizione di funzionali lineari tramite integrali di nucleo ${\displaystyle f}$ è una pratica utilizzata nella teoria delle distribuzioni, dove in tal caso le funzioni ${\displaystyle \varphi }$ sono dette funzioni di test.

Si tratta di una definizione equivalente a quella standard, data in apertura, ossia:

${\displaystyle \int _{K}|f|\,\mathrm {d} x<+\infty ,\quad \forall \,K\subset \Omega ,\,K{\text{ compatto}}}$

se e solo se:

${\displaystyle \int _{\Omega }|f\varphi |\,\mathrm {d} x<+\infty ,\quad \forall \,\varphi \in C_{\mathrm {c} }^{\infty }(\Omega ).}$

Infatti, sia ${\displaystyle \varphi \in C_{c}^{\infty }(\Omega )}$. Essendo una funzione misurabile limitata dalla sua norma uniforme ${\displaystyle \|\varphi \|}$ ed avendo un supporto ${\displaystyle K}$ compatto per la definizione standard, si ha:

${\displaystyle \int _{\Omega }|f\varphi |\,\mathrm {d} x=\int _{K}|f|\,|\varphi |\,\mathrm {d} x\leq \|\varphi \|_{\infty }\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x<+\infty .}$

Per mostrare l'implicazione inversa, sia ${\displaystyle K}$ un sottoinsieme compatto di ${\displaystyle \Omega }$. Si vuole innanzitutto costruire una funzione di test ${\displaystyle \varphi _{K}\in C_{c}^{\infty }(\Omega )}$ che maggiora la funzione indicatrice ${\displaystyle \chi _{K}}$ di ${\displaystyle K}$. La distanza (insiemistica) tra ${\displaystyle K}$ e la sua frontiera ${\displaystyle \partial K}$ è strettamente maggiore di zero, ovvero:

${\displaystyle \Delta :=d(K,\partial \Omega )>0}$

ed è quindi possibile scegliere un numero reale ${\displaystyle \delta }$ tale per cui ${\displaystyle \Delta >2\delta >0}$ (se ${\displaystyle \partial K}$ è vuoto si prende ${\displaystyle \Delta =\infty }$). Siano ora ${\displaystyle K_{\delta }}$ e ${\displaystyle K_{2\delta }}$ gli intorni chiusi di ${\displaystyle K}$ aventi rispettivamente raggio ${\displaystyle \delta }$ e ${\displaystyle 2\delta }$. Essi sono compatti e soddisfano:

${\displaystyle K\subset K_{\delta }\subset K_{2\delta }\subset \Omega ,\qquad d(K_{\delta },\partial \Omega )=\Delta -\delta >\delta >0.}$

Grazie alla convoluzione ${\displaystyle *}$ si definisce la funzione ${\displaystyle \varphi _{K}\in C_{c}^{\infty }(\Omega )}$ come:

${\displaystyle \varphi _{K}(x)={\chi _{K_{\delta }}\ast \varphi _{\delta }(x)}=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\chi _{K_{\delta }}(y)\,\varphi _{\delta }(x-y)\,\mathrm {d} y,}$

dove ${\displaystyle \varphi _{\delta }}$ è un mollificatore. Dal momento che ${\displaystyle \varphi _{K}(x)=1}$ per tutti gli ${\displaystyle x\in K}$ si ha che ${\displaystyle \chi _{K}\leq \varphi _{K}}$.

Se ${\displaystyle f}$ è una funzione localmente integrabile rispetto alla seconda definizione si ha:

${\displaystyle \int _{K}|f|\,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }|f|\chi _{K}\,\mathrm {d} x\leq \int _{\Omega }|f|\varphi _{K}\,\mathrm {d} x<+\infty }$

e poiché questo vale per ogni sottoinsieme compatto ${\displaystyle K}$ di ${\displaystyle \Omega }$, ${\displaystyle f}$ è localmente integrabile anche rispetto alla prima definizione.

Sia ${\displaystyle \Omega }$ un aperto di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ e ${\displaystyle f\colon \Omega \to \mathbb {C} }$ una funzione misurabile rispetto alla sigma-algebra di Lebesgue. Se per un dato ${\displaystyle p}$ tale che ${\displaystyle 1\leq p\leq +\infty }$ la funzione ${\displaystyle f}$ soddisfa:

${\displaystyle \int _{K}|f|^{p}\,\mathrm {d} x<+\infty ,}$

ossia appartiene allo spazio ${\displaystyle L^{p}(K)}$ per tutti i sottoinsiemi compatti di ${\displaystyle \Omega }$, allora ${\displaystyle f}$ è localmente ${\displaystyle p}$-integrabile. L'insieme di tutte le funzioni di questo tipo si indica con ${\displaystyle L_{\mathrm {loc} }^{p}(\Omega )}$.

Lo spazio ${\displaystyle L_{\mathrm {loc} }^{p}}$ è uno spazio metrico completo per ${\displaystyle p\geq 1}$. La sua topologia può essere generata dalla famiglia di metriche:

${\displaystyle d(u,v)=\sum _{k\geq 1}{\frac {1}{2^{k}}}{\frac {\Vert u-v\Vert _{p,\omega _{k}}}{1+\Vert u-v\Vert _{p,\omega _{k}}}},\qquad u,v\in L_{\mathrm {loc} }^{p}(\Omega ),}$

dove ${\displaystyle \{\omega _{k}\}_{k\geq 1}}$ è una famiglia di insiemi non vuoti tale che:

• ${\displaystyle \omega _{k}\subsetneq \omega _{k+1}}$, ossia ${\displaystyle \omega _{k}}$ è strettamente incluso in ${\displaystyle \omega _{k+1}}$.
• ${\displaystyle \bigcup _{k}\omega _{k}=\Omega }$.
• Le funzioni ${\displaystyle \Vert \cdot \Vert _{p,\omega _{k}}\colon L_{\mathrm {loc} }^{p}(\Omega )\to \mathbb {R} ^{+}}$, con ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$, sono una famiglia indicizzata di seminorme definita come:

${\displaystyle {\Vert u\Vert _{p,\omega _{k}}}=\int _{\omega _{k}}|u|^{p}\,\mathrm {d} x,\qquad \forall \,u\in L_{\mathrm {loc} }^{p}(\Omega ).}$

Ogni funzione ${\displaystyle f\in L^{p}}$, dove ${\displaystyle 1\leq p\leq +\infty }$ e ${\displaystyle \Omega }$ è un aperto di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, è localmente integrabile.

Per mostrare questo fatto, data la semplicità del caso ${\displaystyle p=1}$ si assume nel seguito ${\displaystyle 1<p\leq +\infty }$. Considerando la funzione indicatrice ${\displaystyle \chi _{k}}$ del sottoinsieme compatto ${\displaystyle K\subset \Omega }$, si ha:

${\displaystyle \left|{\int _{\Omega }|\chi _{K}|^{q}\,\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=\left|{\int _{K}\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=|\mu (K)|^{1/q}<+\infty ,}$

dove ${\displaystyle q}$ è un numero positivo tale che ${\displaystyle 1/p+1/q=1}$ per un dato ${\displaystyle 1\leq p\leq +\infty }$, e ${\displaystyle \mu (K)}$ è la misura di Lebesgue di ${\displaystyle K}$. Allora, per la disuguaglianza di Hölder il prodotto ${\displaystyle f\chi _{K}}$ è una funzione integrabile, ossia appartiene a ${\displaystyle L^{1}(\Omega )}$ e:

${\displaystyle {\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x}={\int _{\Omega }|f\chi _{K}|\,\mathrm {d} x}\leq \left|{\int _{\Omega }|f|^{p}\,\mathrm {d} x}\right|^{1/p}\left|{\int _{K}\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=\|f\|_{p}|\mu (K)|^{1/q}<+\infty .}$

Quindi ${\displaystyle f\in L_{\mathrm {loc} }^{1}(\Omega )}$. Si nota che dal momento che vale:

${\displaystyle {\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x}={\int _{\Omega }|f\chi _{K}|\,\mathrm {d} x}\leq \left|{\int _{K}|f|^{p}\,\mathrm {d} x}\right|^{1/p}\left|{\int _{K}\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=\|f\|_{p}|\mu (K)|^{1/q}<+\infty .}$

Il teorema si applica anche quando ${\displaystyle f}$ appartiene solo allo spazio delle funzioni localmente ${\displaystyle p}$-integrabili, e pertanto si ha come corollario che ogni funzione ${\displaystyle f\in L_{\mathrm {loc} }^{p}}$, dove ${\displaystyle 1<p\leq +\infty }$, è localmente integrabile, ovvero appartiene a ${\displaystyle f\in L_{\mathrm {loc} }^{1}}$.

• Ogni funzione integrabile (globalmente) in ${\displaystyle U}$ è localmente integrabile, cioè:

${\displaystyle L^{1}(U)\subset L_{\mathrm {loc} }^{1}(U).}$

• Più generalmente, ogni funzione in ${\displaystyle L^{p}(U)}$, con ${\displaystyle 1\leq p\leq +\infty }$ è localmente integrabile:

${\displaystyle L^{p}(U)\subset L_{\mathrm {loc} }^{1}(U).}$

• La funzione costante a ${\displaystyle 1}$ definita sulla retta reale è localmente integrabile, ma non globalmente. Più generalmente, le funzioni continue sono localmente integrabili.
• La funzione ${\displaystyle f(x)=1/x}$ per ${\displaystyle x\neq 0}$ e ${\displaystyle f(0)=0}$ non è localmente integrabile su ${\displaystyle \mathbb {R} }$, perché la condizione cade negli intervalli contenenti l'origine, mentre la sua restrizione a ${\displaystyle (0,+\infty )}$appartiene a ${\displaystyle L_{\mathrm {loc} }^{1}(0,+\infty )}$.^[1]

• (EN) S. Saks, Theory of the integral , Hafner (1952)
• (EN) G.P. Tolstov, On the curvilinear and iterated integral Trudy Mat. Inst. Steklov. , 35 (1950) pp. 1–101

• Distribuzione (matematica)
• Funzione a supporto compatto
• Funzione di test
• Funzione integrabile
• Funzione misurabile
• Insieme compatto
• Integrale di Lebesgue
• Spazio Lp

• (EN) Eric W. Weisstein, Funzione localmente integrabile, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) I.A. Vinogradova, Locally integrable function, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.