Equazione differenziale di Abel

In matematica, l'equazione differenziale di Abel, che prende il nome dal matematico Niels Abel, è un'equazione differenziale ordinaria della forma:

y'=f_{3}(x)y^{3}+f_{2}(x)y^{2}+f_{1}(x)y+f_{0}(x)\,

dove $f_{3}(x)\neq 0$ . Se $f_{3}(x)=0$ e $f_{0}(x)=0$ , oppure $f_{2}(x)=0$ e $f_{0}(x)=0$ , l'equazione si riduce all'equazione di Bernoulli, mentre se $f_{3}(x)=0$ diventa l'equazione di Riccati.

Equazione del secondo tipo

La sostituzione $y=1/u$ produce una seconda equazione differenziale di Abel detta "del secondo tipo":

uu'=-f_{0}(x)u^{3}-f_{1}(x)u^{2}-f_{2}(x)u-f_{3}(x)

che si trova in letteratura anche senza il termine al cubo:

yy'=f(x)y^{2}+g(x)y+h(x)

da non confondere con l'equazione di Riccati. Sostituendo in quest'ultima:

y=e^{\int {f(x)dx}}z=Ez

l'equazione assume la forma:

zz'={\frac {g}{E}}z+{\frac {h}{E^{2}}}

Introducendo la variabile indipendente:

u=\int {\frac {g}{E}}

l'equazione si riduce alla forma canonica:

z{\frac {dz}{du}}-z=\Phi (u)

La funzione $\Phi$ è definita parametricamente da:

\left\{{\begin{matrix}\Phi (u)={\frac {h(x)}{g(x)E(x)}}\\u=\int {\frac {g(x)}{E(x)}}\\\end{matrix}}\right.

Ridotta in forma canonica, sono noti in letteratura molti casi risolvibili.

Bibliografia

(EN) Murphy, G. M. Ordinary Differential Equations and Their Solution. Princeton, NJ: Van Nostrand, 1960.
(EN) Zwillinger, D. Handbook of Differential Equations, 3rd ed. Boston, MA: Academic Press, p. 120, 1997.