Terna pitagorica

Una terna pitagorica è una terna di numeri naturali ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ tali che ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$. Il nome viene dal teorema di Pitagora, da cui discende che ad ogni triangolo rettangolo con lati interi corrisponde una terna pitagorica e viceversa.

Se ${\displaystyle (a,b,c)}$ è una terna pitagorica, lo è anche ${\displaystyle (da,db,dc)}$, dove ${\displaystyle d}$ è un numero naturale qualsiasi. Il numero ${\displaystyle d}$ è quindi un divisore comune dei tre numeri ${\displaystyle da}$, ${\displaystyle db}$, ${\displaystyle dc}$. Una terna pitagorica si dice primitiva se ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ e ${\displaystyle c}$ non hanno divisori comuni. I triangoli descritti da terne pitagoriche non primitive sono sempre simili a quelli descritti dalla corrispondente terna primitiva.

Esiste una formula capace di generare tutte le terne pitagoriche primitive; tali formule sono citate da Euclide (in greco antico: Ευκλείδης^?) nei suoi Elementi (in greco antico: τα Στοιχεία^?):

${\displaystyle a=m^{2}-n^{2}\,;\;\;b=2mn\,;\;\;c=m^{2}+n^{2}.}$

Le formule di Euclide generano una terna pitagorica primitiva se e solo se ${\displaystyle m}$ e ${\displaystyle n}$ sono coprimi ed uno di loro è pari e l'altro dispari (se sia ${\displaystyle n}$ che ${\displaystyle m}$ sono dispari ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ e ${\displaystyle c}$ sono pari, e quindi quella terna pitagorica non può essere primitiva). Tutte le terne primitive si possono ottenere in questo modo da un'unica coppia di numeri coprimi ${\displaystyle m>n}$, mentre le restanti (non primitive) si possono ottenere moltiplicando i termini di una terna primitiva per un opportuno fattore. Le formule così modificate sono quindi in grado di generare tutte le terne possibili, anche se in modo non univoco:

${\displaystyle a=k\cdot (m^{2}-n^{2})\,;\,b=k\cdot (2mn)\,;\,c=k\cdot (m^{2}+n^{2}).}$

Una conseguenza immediata di queste formule è che le terne pitagoriche sono infinite, in quanto sono infinite le possibili scelte di ${\displaystyle m}$ e ${\displaystyle n}$.

Inoltre è facile dimostrare che il prodotto di ${\displaystyle a}$ per ${\displaystyle b}$ (dei due cateti) è sempre divisibile per ${\displaystyle 12}$ ${\displaystyle (=3\cdot 4)}$, mentre il prodotto ${\displaystyle abc}$ (di tutti e tre i lati del triangolo pitagorico) è sempre divisibile per ${\displaystyle 60}$ ${\displaystyle (=3\cdot 4\cdot 5)}$. Infatti modulo ${\displaystyle 3}$ e modulo ${\displaystyle 4}$ si hanno solo ${\displaystyle 0}$ e ${\displaystyle 1}$ come quadrati, quindi, se ${\displaystyle N=3}$ o ${\displaystyle N=4}$, si ha che se ${\displaystyle m^{2}\equiv 0{\bmod {N}}}$ oppure ${\displaystyle n^{2}\equiv 0{\bmod {N}},}$ allora ${\displaystyle m\equiv 0{\bmod {N}}}$ oppure ${\displaystyle n\equiv 0{\bmod {N}}}$ e quindi ${\displaystyle b\equiv 0{\bmod {N}};}$ se invece ${\displaystyle m^{2}\equiv n^{2}\equiv 1{\bmod {N}},}$ allora ${\displaystyle a\equiv 0{\bmod {N}}.}$ Di conseguenza ${\displaystyle ab\equiv 0{\bmod {1}}2.}$ Infine, poiché modulo ${\displaystyle 5}$ i quadrati sono ${\displaystyle 0,\pm 1,}$ se ${\displaystyle m^{2}\equiv 0{\bmod {5}}}$ oppure ${\displaystyle n^{2}\equiv 0{\bmod {5}}}$ oppure ${\displaystyle m^{2}\equiv n^{2}\equiv 1{\bmod {5}}}$ oppure ${\displaystyle m^{2}\equiv n^{2}\equiv -1{\bmod {5}},}$ ragionando analogamente si ha che ${\displaystyle ab\equiv 0{\bmod {5}};}$ se invece ${\displaystyle m^{2}\equiv -n^{2}\equiv 1{\bmod {5}}}$ oppure ${\displaystyle m^{2}\equiv -n^{2}\equiv -1{\bmod {5}},}$ allora ${\displaystyle c\equiv 0{\bmod {5}}.}$ Quindi, in tutti i casi ${\displaystyle abc\equiv 0{\bmod {5}}}$ da cui ${\displaystyle abc\equiv 0{\bmod {6}}0.}$