Kombinasi

Kombinasi C dari sebuah himpunan S adalah himpunan bagian dari S.

${\displaystyle C\subseteq S}$ 

Sebagai contoh, misalkan terdapat suatu kumpulan buah: apel, jeruk, mangga, pisang. Maka {apel, jeruk} dan {jeruk, mangga, pisang} adalah merupakan kombinasi dari kumpulan tersebut. Seluruh himpunan bagian yang mungkin dibentuk dari kumpulan buah tersebut adalah:

• tidak ada buah apa pun
• satu buah:
  • apel
  • jeruk
  • mangga
  • pisang
• dua buah:
  • apel, jeruk
  • apel, mangga
  • apel, pisang
  • jeruk, mangga
  • jeruk, pisang
  • mangga, pisang
• tiga buah:
  • apel, jeruk, mangga
  • apel, jeruk, pisang
  • apel, mangga, pisang
  • jeruk, mangga, pisang
• empat buah:
  • apel, jeruk, mangga, pisang

Kombinasi r dari sebuah himpunan S, berarti dari himpunan S diambil elemen sebanyak r untuk dijadikan sebuah himpunan baru. Dalam hal kumpulan buah di atas, himpunan {apel, jeruk, pisang} adalah sebuah kombinasi 3 dari S, sedangkan {jeruk, pisang} adalah sebuah kombinasi 2 dari S.

Banyaknya kombinasi r dari sebuah himpunan berisi n elemen dapat dihitung tanpa harus memperhatikan isi dari himpunan tersebut. Besarnya dinyatakan dengan fungsi:

${\displaystyle C_{r}^{n}={\frac {n!}{r!(n-r)!}}}$ 

Fungsi ${\displaystyle C_{r}^{n}}$  dalam banyak literatur dinyatakan juga dengan notasi ${\displaystyle {n \choose r}}$ .

Sebagai contoh, tanpa harus mengetahui elemen himpunan {apel, jeruk, mangga, pisang}, banyaknya kombinasi 3 dari himpunan tersebut dapat dihitung:

${\displaystyle C_{3}^{4}={\frac {4!}{3!(4-3)!}}=4}$ 

Kombinasi dapat dibentuk dari dua kombinasi sebelumnya. Ini mengakibatkan banyaknya kombinasi juga bersifat rekursif:

${\displaystyle C_{r}^{n}=C_{r-1}^{n-1}+C_{r}^{n-1}}$ 

Dari himpunan {apel, jeruk, mangga, pisang} dapat diambil permutasi 3 unsur, yang dapat didaftar sebagai berikut:

Perhatikan bahwa dalam susunan ini setiap kolom merupakan permutasi dari kolom pertama. Karena dalam kombinasi urutan tidak dipentingkan, maka cukup salah satu kolom saja yang diambil. Jika kita mengambil kolom pertama saja, maka kita mendapatkan kombinasi 3 dari keempat buah tersebut adalah:

• apel, jeruk, mangga
• apel, jeruk, pisang
• apel, mangga, pisang
• jeruk, mangga, pisang

Penyusunan tabel seperti di atas akan menghasilkan ${\displaystyle P_{3}^{4}}$  atau 24 permutasi, dengan ${\displaystyle 3!}$  kolom, karena untuk setiap baris terdapat ${\displaystyle 3!}$  permutasi dari kolom pertama. Dengan demikian, jumlah baris dari tabel akan sebesar:

${\displaystyle {\frac {P_{3}^{4}}{3!}}}$ 

Aturan seperti ini dapat digeneralisasikan sehingga untuk setiap n unsur yang dikombinasikan r unsur, berlaku:

${\displaystyle C_{r}^{n}={\frac {P_{r}^{n}}{r!}}}$ 

Yang dapat dengan mudah dibuktikan:

${\displaystyle C_{r}^{n}={\frac {P_{r}^{n}}{r!}}}$ 

${\displaystyle ={\frac {\frac {n!}{(n-r)!}}{r!}}}$ 

${\displaystyle ={\frac {n!}{r!(n-r)!}}}$ 

Kombinasi juga berhubungan dengan permutasi dengan unsur identik. Kombinasi dari sebuah himpunan S dapat dimengerti sebagai pemilihan unsur-unsur himpunan S. Unsur yang terpilih kita tandai dengan 1, dan yang tidak terpilih kita tandai dengan 0. Dengan demikian dari himpunan {apel, jeruk, mangga, pisang} tersebut, kita dapat mendaftarkan kombinasi-3 nya seperti ini:

Kombinasi	apel	jeruk	mangga	pisang
apel, jeruk, mangga	1	1	1	0
apel, jeruk, pisang	1	1	0	1
apel, mangga, pisang	1	0	1	1
jeruk, mangga, pisang	0	1	1	1

Dengan demikian, banyaknya kombinasi 3 unsur dari himpunan S yang berisi 4 benda setara dengan banyaknya permutasi terhadap untai 1110, yaitu:

${\displaystyle {\frac {4!}{3!}}=4}$ 

Karena untai 1110 memiliki 4 unsur, tetapi ada 3 unsur identik, yaitu 1. Maka total permutasinya adalah 4! dibagi dengan 3!. Kombinasi r dari n unsur, sesuai dengan pengertian itu, selalu setara dengan permutasi yang terdiri dari r angka 1 dan n - r angka 0. Maka permutasinya menjadi:

${\displaystyle {\frac {n!}{r!(n-r)!}}}$ 

Yang sesuai dengan rumus kita di awal, untuk menghitung ${\displaystyle C_{r}^{n}}$ .

Suatu binomial ${\displaystyle (a+b)^{n}}$  yang dijabarkan dalam bentuk jumlahan, akan membangkitkan koefisien-koefisien yang merupakan bilangan kombinasi.

${\displaystyle (a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}}$ 

Dengan penjabaran seperti di atas, maka banyaknya kombinasi r dari n unsur bisa didapat dari setiap suku:

${\displaystyle {n \choose r}={\mbox{koefisien }}a^{r}b^{n-r}}$ 

Daftar berikut menunjukkan beberapa penjabaran binomial:

1. ${\displaystyle (a+b)^{0}=1a^{0}b^{0}}$ 
2. ${\displaystyle (a+b)^{1}=1a^{1}b^{0}+1a^{0}b^{1}}$ 
3. ${\displaystyle (a+b)^{2}=1a^{2}b^{0}+2a^{1}b^{1}+1a^{0}b^{2}}$ 
4. ${\displaystyle (a+b)^{3}=1a^{3}b^{0}+3a^{2}b^{1}+3a^{1}b^{2}+1a^{0}b^{3}}$ 
5. ${\displaystyle (a+b)^{4}=1a^{4}b^{0}+4a^{3}b^{1}+6a^{2}b^{2}+4a^{1}b^{3}+1a^{0}b^{4}}$ 
6. ${\displaystyle (a+b)^{5}=1a^{5}b^{0}+5a^{4}b^{1}+10a^{3}b^{2}+10a^{2}b^{3}+5a^{1}b^{4}+1a^{0}b^{5}}$ 
7. ${\displaystyle (a+b)^{6}=1a^{6}b^{0}+6a^{5}b^{1}+15a^{4}b^{2}+20a^{3}b^{3}+15a^{2}b^{4}+6a^{1}b^{5}+1a^{0}b^{6}}$ 

Dengan menuliskan hanya koefisiennya saja, dari penjabaran binomial dapat kita peroleh:

1. ${\displaystyle (a+b)^{0}=1a^{0}b^{0}\rightarrow 1}$ 
2. ${\displaystyle (a+b)^{1}=1a^{1}b^{0}+1a^{0}b^{1}\rightarrow 1,1}$ 
3. ${\displaystyle (a+b)^{2}=1a^{2}b^{0}+2a^{1}b^{1}+1a^{0}b^{2}\rightarrow 1,2,1}$ 
4. ${\displaystyle (a+b)^{3}=1a^{3}b^{0}+3a^{2}b^{1}+3a^{1}b^{2}+1a^{0}b^{3}\rightarrow 1,3,3,1}$ 

Jika diteruskan, daftar koefisien ini akan membentuk susunan yang disebut sebagai Segitiga Pascal.

         1
        1  1
       1  2  1
      1  3  3  1
     1  4  6  4  1
    1  5 10 10  5  1
   1  6 15 20 15  6  1
  1  7 21 35 35 21  7  1
 1  8 28 56 70 56 28  8  1

• Dalam sebuah kotak terdapat 5 bola merah, 4 bola biru dan 3 bola hitam. Tiga bola diambil sekaligus dari dalam kotak secara acak. Ada berapa carakah bola yang terambil:
  • bebas

${\displaystyle C_{3}^{12}={\frac {12!}{3!(12-3)!}}={\frac {12!}{3!9!}}={\frac {12\cdot 11\cdot 10\cdot 9!}{3\cdot 2\cdot 1\cdot 9!}}=220}$  cara

• • sama

${\displaystyle C_{3}^{5}+C_{3}^{4}+C_{3}^{3}={\frac {5!}{3!(5-3)!}}+{\frac {4!}{3!(4-3)!}}+{\frac {3!}{3!(3-3)!}}={\frac {5!}{3!2!}}+{\frac {4!}{3!1!}}+{\frac {3!}{3!0!}}={\frac {5\cdot 4\cdot 3!}{2\cdot 1\cdot 3!}}+{\frac {4\cdot 3!}{1\cdot 3!}}+{\frac {3!}{1\cdot 3!}}=10+4+1=15}$  cara

• • berbeda

${\displaystyle C_{1}^{5}\cdot C_{1}^{4}\cdot C_{1}^{3}={\frac {5!}{1!(5-1)!}}\cdot {\frac {4!}{1!(4-1)!}}\cdot {\frac {3!}{1!(3-1)!}}={\frac {5!}{1!4!}}\cdot {\frac {4!}{1!3!}}\cdot {\frac {3!}{1!2!}}={\frac {5\cdot 4!}{1\cdot 4!}}\cdot {\frac {4\cdot 3!}{1\cdot 3!}}\cdot {\frac {3\cdot 2!}{1\cdot 2!}}=5\cdot 4\cdot 3=60}$  cara

• • dua diantaranya sama

${\displaystyle C_{2}^{5}\cdot C_{1}^{4}+C_{2}^{5}\cdot C_{1}^{3}+C_{2}^{4}\cdot C_{1}^{5}+C_{2}^{4}\cdot C_{1}^{3}+C_{2}^{3}\cdot C_{1}^{5}+C_{2}^{3}\cdot C_{1}^{4}={\frac {5!}{2!(5-2)!}}\cdot {\frac {4!}{1!(4-1)!}}+{\frac {5!}{2!(5-2)!}}\cdot {\frac {3!}{1!(3-1)!}}+{\frac {4!}{2!(4-2)!}}\cdot {\frac {5!}{1!(5-1)!}}+{\frac {4!}{2!(4-2)!}}\cdot {\frac {3!}{1!(3-1)!}}+{\frac {3!}{2!(3-2)!}}\cdot {\frac {5!}{1!(5-1)!}}+{\frac {3!}{2!(3-2)!}}\cdot {\frac {4!}{1!(4-1)!}}={\frac {5!}{2!3!}}\cdot {\frac {4!}{1!3!}}+{\frac {5!}{2!3!}}\cdot {\frac {3!}{1!2!}}+{\frac {4!}{2!2!}}\cdot {\frac {5!}{1!4!}}+{\frac {4!}{2!2!}}\cdot {\frac {3!}{1!2!}}+{\frac {3!}{2!1!}}\cdot {\frac {5!}{1!4!}}+{\frac {3!}{2!1!}}\cdot {\frac {4!}{1!3!}}={\frac {5\cdot 4\cdot 3!}{2\cdot 1\cdot 3!}}\cdot {\frac {4\cdot 3!}{1\cdot 3!}}+{\frac {5\cdot 4\cdot 3!}{2\cdot 1\cdot 3!}}\cdot {\frac {3\cdot 2!}{1\cdot 2!}}+{\frac {4\cdot 3\cdot 2!}{2\cdot 1\cdot 2!}}\cdot {\frac {5\cdot 4!}{1\cdot 4!}}+{\frac {4\cdot 3\cdot 2!}{2\cdot 1\cdot 2!}}\cdot {\frac {3\cdot 2!}{1\cdot 2!}}+{\frac {3\cdot 2!}{1\cdot 2!}}\cdot {\frac {5\cdot 4!}{1\cdot 4!}}+{\frac {3\cdot 2!}{1\cdot 2!}}\cdot {\frac {4\cdot 3!}{1\cdot 3!}}=40+30+30+18+15+12=145}$  cara

• Faktorial
• Kombinasi dan permutasi
• Permutasi
• Kombinadik
• Membangkitkan Kombinasi

• Kurnianingsih, Sri (2007). Matematika SMA dan MA 2A Untuk Kelas XI Semester 1 Program IPA. Jakarta: Esis/Erlangga. ISBN 979-734-502-5.  Parameter |coauthors= yang tidak diketahui mengabaikan (|author= yang disarankan) (bantuan) (Indonesia)
• Kurnianingsih, Sri (2007). Matematika SMA dan MA 2A Untuk Kelas XI Semester 1 Program IPS. Jakarta: Esis/Erlangga. ISBN 979-734-563-7.  Parameter |coauthors= yang tidak diketahui mengabaikan (|author= yang disarankan) (bantuan) (Indonesia)