Ուռուցիկ բազմություն

Ուռուցիկ բազմություն, բազմություն աֆֆինիում կամ վեկտորական տարածությունում, որի մեջ գտնվող երկու կետերից կազմված հատվածի բոլոր կետերը նույնպես պատկանում են տվյալ բազմությանը։

Դիցուք՝ ${\displaystyle A}$ աֆֆինիումը կամ վեկտորական տարածությունը գտնվում է վերը նշված իրական թվերի ${\displaystyle \mathbb {R} }$ բազմությունում։

${\displaystyle K\subset A}$ բազմությունը կոչվում է ուռուցիկ, եթե դրա հետ ցանկացած երկու ${\displaystyle x,\;y\in K}$ կետերում ${\displaystyle K}$ բազմությունը ներառում է հատվածի բոլոր ${\displaystyle xy}$ կետերը՝ ${\displaystyle A}$ բազմությանը միացնող ${\displaystyle x}$ և ${\displaystyle y}$ կետերով։ Այս հատվածը կարելի է ներկայացնել որպես

${\displaystyle \bigcup \limits _{t\in [0;\;1]}\{x+t\cdot {\overrightarrow {xy}}\}.}$

Սահմանված ${\displaystyle K}$ վեկտորական տարածության ${\displaystyle V}$-ն անվանում ենք բացարձակ ուռուցիկ, եթե այն ուռուցիկ և հավասարակշռված է։

• ${\displaystyle \mathbb {R} }$ բազմության ուռուցիկ ենթաբազմությունները (շատ իրական թվեր) ${\displaystyle \mathbb {R} }$-ի միջակայքերն են։
• Երկչափ էվկլիդյան տարածքում ուռուցիկ ենթաբազմությունների օրինակներ են (${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$) կանոնավոր բազմանկյունները։
• Եռաչափ էվկլիդային տարածության մեջ ուռուցիկ ենթաբազմությունների (${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$) օրինակներ են մարմնի արքիմեդները և կանոնավոր բազմանիստները։
• Թելա Կեպլերի՝ Պուանսոյի մարմինները (կանոնավոր աստղային բազմանկյունները) ոչ ուռուցիկ բազմությունների օրինակներ են։

• Ուռուցիկ բազմությունը տոպոլոգիական գծային տարածության մեջ կապակցված կամ գծային կապակցվածություն ունեցող հոմոտոպիկ համարժեք կետ է։
• Կապակցման առումով ուռուցիկ բազմությունը կարող է սահմանվել հետևյալ կերպ. բազմությունը ուռուցիկ է, եթե նրա հատման կետը միացված է որևէ (իրական) գծի հետ։
• Դիցուք՝ ${\displaystyle K}$ ուռուցիկ բազմությունը գծային տարածության մեջ է։ Ապա ${\displaystyle K}$ բազմությանն են պատկանում ցանկացած ${\displaystyle u_{1},\;u_{2},\;\ldots ,\;u_{r}}$ տարրերը և բոլոր ոչ բացասական ${\displaystyle \lambda _{1},\;\lambda _{2},\;\ldots ,\;\lambda _{r}}$ կետերը, այնպես որ ${\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}+\ldots +\lambda _{r}=1}$, վեկտորը

  ${\displaystyle w=\sum _{k=1}^{r}\lambda _{k}u_{k}}$

պատկանի ${\displaystyle K}$ բազմությանը

• Վեկտոր ${\displaystyle w}$-ն կոչվում է տարրերի ուռուցիկ համադրություն՝ ${\displaystyle u_{1},\;u_{2},\;\ldots ,\;u_{r}}$։

• Ուռուցիկ խմբերի ցանկացած շարքի հատումից առաջանում է ուռուցիկ բազմություն՝ ուռուցիկ ենթաբազմություններից ձևավորվելով ամբողջական ցանց։ Դրանից հետևում է, որ ցանկացած ${\displaystyle A}$ գծային տարածության ենթաբազմությունում է ամենափոքր ուռուցիկ բազմությունը։ Այս բազմությունն ${\displaystyle A}$-ն պարունակող բոլոր ուռուցիկ բազմությունների հատման կետն է և կոչվում է ${\displaystyle A}$-ի ուռուցիկ բազմություն։
  • Փակ ուռուցիկ բազմությունները կարող են սահմանվել որպես փակ կիսատարածությունների հատման կետեր (հիպերհարթության միայն մի մասում ընկած տարածության բազմաթիվ կետեր)։ Վերը նշվածից պարզ է դառնում, որ նման հատման կետերը ուռուցիկ և փակ բազմություններ են։ Ապացուցելու համար, որ յուրաքանչյուր ուռուցիկ բազմություն կարող է հատման կետ լինել, կարելի է օգտագործել օժանդակ հիպերհարթության թեորեմը, որը ֆունկցիոնալ վերլուծության Հանա-Բանախի թեորեմայի մասնավոր դեպքն է։
• Հելլի թեորեմ։ Ենթադրենք, որ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ուռուցիկ ենթաբազմությունների վերջնական խմբում ցանկացած ${\displaystyle d+1}$ հատման կետ ոչ դատարկ է։ Այդ դեպքում հատման կետերում այս խմբի բոլոր ենթաբազմությունները ոչ դատարկ են։
• ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$-ում միավոր մակերեսի ցանկացած ուռուցիկ բազմություն կարելի է դնել 2 մակերեսի եռանկյան մեջ^[1]։

• Առանց որևէ փոփոխության սահմանումը աշխատում է աֆֆինինի տարածությունների`իրական թվերի դաշտի կամայական ընդլայնման վրա։

• Половинкин Е. С., Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 416 с. — ISBN 5-9221-0499-3.
• Тиморин В. А. Комбинаторика выпуклых многогранников. — М.: МЦНМО, 2002. — 16 с. — ISBN 5-94057-024-0։

• Ուռուցիկ բազմությունների լեկցիա, Նիլ Լաուրթզենի նշումները, Աարհուս համալսարան, 2010 թվականի մարտ