Լայբնիցի շարք

Լայբնիցի շարք, շարքն ուսումնասիրած գերմանացի մաթեմատիկոս Լայբնիցի անունով կոչված նշանահեթափոխ շարք (չնայած նրան, որ այդ շարքը հայտնի է եղել ավելի շուտ).

${\displaystyle 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}-{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{17}}-{\frac {1}{19}}+{\frac {1}{21}}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }\,{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}:}$

Այս շարքի զուգամիտությունն անմիջապես հետևում է Լայբնիցի նշանահերթափոխ շարքերի մասին թեորեմից։ Լայբնիցը ցույց տվեց, որ շարքի գումարը հավասար է ${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}:}$ Այս հայտնագործությունը առաջին անգամ ցույց տվեց, որ պի թիվը, որը սկզբնապես սահմանված է երկրաչափության մեջ, Իրականում համընդհանուր մաթեմատիկական հաստատուն է. հետագայում այս փաստը մշտապես նոր հաստատում է գտել։

Լայբնիցի շարքը զուգամիտում է շատ դանդաղ։ Ստորև բերված աղյուսակը ցույց է տալիս ${\displaystyle \pi }$ շարքին զուգամիտության արագությունը՝ բազմապատկած չորսով։

n (Շարքի անդամների թիվը)	${\displaystyle 4\cdot \sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}}$ (Մասնակի գումար, ճիշտ նշաններն ընգծված են սև գույնով)	Հարաբերական ճշգրչտություն
2	2,666666666666667	0,848826363156775
4	2,895238095238095	0,921582908570213
8	3,017071817071817	0,960363786700453
16	3,079153394197426	0,980124966449415
32	3,110350273698686	0,990055241612751
64	3,125968606973288	0,995026711499770
100	3,131592903558553	0,996816980705689
1.000	3,140592653839793	0,999681690193394
10.000	3,141492653590043	0,999968169011461
100.000	3,141582653589793	0,999996816901138
1.000.000	3,141591653589793	0,999999681690114
10.000.000	3,141592553589793	0,999999968169011
100.000.000	3,141592643589793	0,999999996816901
1.000.000.000	3,141592652589793	0,999999999681690

Լայբնիցի շարքը հեշտությամբ ստացվում է արկտանգենսի՝ Թեյլորի շարքի վերլուծմամբ^[1].

${\displaystyle \operatorname {arctg} x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots }$

Տեղադրելով ${\displaystyle x=1,}$ մենք ստանում ենք Լայբնիցի շարքը։

Արկտանգենսի համար Թեյլորի շարքն առաջին անգամ առաջ բերեց Մաթեմատիկոս Մադխավան, ով Կերալայի աստղագիտության և մաթիմատիկայի դպրոցի հիմնադիրն էր (XIV դար)։ Մեդխավան օգտագործեց շարքը^[2][3] ${\displaystyle \pi }$ թիվը հաշվելու համար։ Սակայն լայբնիցի շարքը ${\displaystyle x=1}$-ով, ինչպես ցույց է տրված վերևում, զուգամիտում է շատ դանդաղ, այդ պատճառով Մեդխավան տեղադրեց ${\displaystyle x={\frac {\sqrt {3}}{3}}}$ և ստացավ ավելի արագ զուգամիտող շարք^[4]։

${\displaystyle \pi ={\sqrt {12}}\left(1-{1 \over 3\cdot 3}+{1 \over 5\cdot 3^{2}}-{1 \over 7\cdot 3^{3}}+\cdots \right)}$

Առաջին 21 գումարելիների գումարը տալիս է ${\displaystyle 3{,}14159265359}$, ընդ որում բոլոր նշանները, բացի վերջինից, ճիշտ են^[5]։

Մեդխավայի և իր աշակերտների ջանքերը հայտնի չէին Եվրոպայում XVII դարում, և արկտանգենսի վերլուծումը իրենցից անկախ հայտնագործեցին Գրեգորի Ջեյմսը (1671) և Լայբնիցը (1676)։ Այդ պատճառով, որոշ աղբյուրներ առաջարկում են շարքն անվանել «Մադխավա-Լայբնիցի շարք» կամ «Գրեգորի-Լայբնիցի շարք»։ Գրեգորին, այնուամենայնիվ, աշդ շարքը չէր կապում ${\displaystyle \pi }$ թվի հետ։

Լայբնիցի շարքի ևս մեկ ձևափոխություն, որն այն դարձնում է ${\displaystyle \pi }$ թվի հաշվարկի համար ավելի պիտանի, դա այդ շարքի անդամների զույգ առ զույգ միավորումն է։ Արդյունքում ունենում ենք հետևյալ շարքը.

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{4n+1}}-{\frac {1}{4n+3}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2}{(4n+1)(4n+3)}}}$

Հաշվարկի հետագա օպտիմալացման համար կարելի է կիրառել Էյլեր-Մակլորենի բանաձևը և օգտագործելով թվային ինտեգրման մեթոդները։

• Հարմոնիկ շարք

• Жуков А. В. Вездесущее число «пи». — 2-е изд. — М.: Издательство ЛКИ, 2007. — 216 с. — ISBN 978-5-382-00174-6
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — Т. 2. — 864 с. — ISBN 5-9221-0157-9

• Wolfram MathWorld կայքում