Ածանցման կանոններ

Այս հոդվածում ներկայացված է մաթեմատիկական անալիզում ֆունկցիայի ածանցման հիմնական կանոնները։

Եթե հատուկ նշված չէ, ապա ցանկի ֆունկցիաները համարվում են իրական փոփոխականով և իրական արժեքով ֆունկցիաները, չնայած, ընդհանուր առամաբ այս բանաձևերը ճիշտ են, եթե այդ կետերում ֆունկցիաները լավ սահմանված են^[1][2]՝ ներառյալ կոմպլեքս թվերի դեպքում^[3]։

Կամայական ${\displaystyle f}$ և ${\displaystyle g}$ ֆունկցիաների և ${\displaystyle a}$ և ${\displaystyle b}$ իրական թվերի համար ${\displaystyle h(x)=af(x)+bg(x)}$ ֆունկցիայի ածանցյալը ըստ ${\displaystyle x}$-ի հավասար է՝

${\displaystyle h'(x)=af'(x)+bg'(x){\text{։}}}$

Լայբնիցի նշանակմամաբ այս բանաձը կստանա հետևյալ տեսքը՝

${\displaystyle {\frac {d(af+bg)}{dx}}=a{\frac {df}{dx}}+b{\frac {dg}{dx}}{\text{։}}}$

Մասնավոր դեպքեր․

• Հաստատում արտադրիչի կանոն՝

${\displaystyle (af)'=af'}$

• Գումարման կանոն՝

${\displaystyle (f+g)'=f'+g'}$

• Հանման կանոն՝

${\displaystyle (f-g)'=f'-g'.}$

Կամայական f և g ֆունկցիաների համար h(x) = f(x) g(x) ֆունկցիայի ածանցյալը ըստ x-ի հավասար է՝

${\displaystyle h'(x)=(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x){\text{։}}}$

Լայբնիցի նշանակմամաբ այս բանաձը կստանա հետևյալ տեսքը՝

${\displaystyle {\frac {d(fg)}{dx}}={\frac {df}{dx}}g+f{\frac {dg}{dx}}.}$

${\displaystyle h(x)=f(g(x))}$ ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է՝

${\displaystyle h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x){\text{։}}}$

Լայբնիցի նշանակմամաբ այս բանաձը կստանա հետևյալ տեսքը՝

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}h(x)={\frac {d}{dz}}f(z)|_{z=g(x)}\cdot {\frac {d}{dx}}g(x),}$

որը հաճախ կրճատ գրվում է որպես

${\displaystyle {\frac {dh(x)}{dx}}={\frac {df(g(x))}{dg(x)}}\cdot {\frac {dg(x)}{dx}}{\text{։}}}$

Դիֆերենցումը որպես ${\displaystyle {\text{D}}}$ արտապատկերում դիտարկելու դեպքում բանաձևը հնարավոր է ներկայացնել ավելի պարզ տեսքով՝

${\displaystyle [{\text{D}}(h\circ g)]_{x}=[{\text{D}}h]_{g(x)}\cdot [{\text{D}}g]_{x}\,{\text{։}}}$

Եթե f ֆունկցիայի հակադարձ ֆունկցիան g-ն է, այսինքն՝ ${\displaystyle g(f(x))=x}$ և ${\displaystyle f(g(y))=y,}$ ապա

${\displaystyle g'={\frac {1}{f'\circ g}}{\text{։}}}$

Լայբնիցի նշանակմամաբ այս բանաձը կստանա հետևյալ տեսքը՝

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{\frac {dy}{dx}}}{\text{։}}}$

Եթե${\displaystyle f(x)=x^{r}}$, որտեղ ${\displaystyle r\neq 0,}$ ապա

${\displaystyle f'(x)=rx^{r-1}{\text{։}}}$

Երբ ${\displaystyle r=1,}$ սա ապա ${\displaystyle f(x)=x,}$ հետևաբար՝ ${\displaystyle f'(x)=1}$։

Այս, գումարման և հաստատունով բազմապատկման կանոնի միջոցով հնարավոր է հաշվել կամայական բազմանդամի ածանցիալ։

Կամայական չանհետացող f ֆունցիայի դեպքում ${\displaystyle h(x)={\frac {1}{f(x)}}}$ ֆունցկայի ածանցյալն է՝

${\displaystyle h'(x)=-{\frac {f'(x)}{(f(x))^{2}}}}$ որտեղ f-ը զրոյական չէ։

Լայբնիցի նշանակմամաբ այս բանաձը կստանա հետևյալ տեսքը՝

${\displaystyle {\frac {d(1/f)}{dx}}=-{\frac {1}{f^{2}}}{\frac {df}{dx}}{\text{։}}}$

Հակադարձ ֆունկցիայի կանոնը կարելի է ստանալ կամ քանորդի կանոնից կամ աստիճանի կանոնի և բարդ ֆունկցիայի կանոնի համադրությամբ։

Եթե f և g ֆունկցիաների համար

${\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-g'f}{g^{2}}}\quad }$ որտեղ g-ը զրոյական չէ։

Սա կարելի է ստանալ բազմապատկման և հակադարձ ֆունկցիաների կանոնից։

Տարրական աստիճանային կանոնը կարող է ընդհանրացվել։ Ամենաընդհանուր աստիճանային կանոնը ֆունկցիոնալ աստիճանային կանոնն է․ կամայական f և g ֆունկցիաների համար՝

${\displaystyle (f^{g})'=\left(e^{g\ln f}\right)'=f^{g}\left(f'{g \over f}+g'\ln f\right),\quad }$

եթե երկու կողմն էլ լավ սահմանված են^[4]։

Հատուկ դեպքերից են՝

• եթե ${\textstyle f(x)=x^{a}\!}$, ապա ${\textstyle f'(x)=ax^{a-1}}$երբ a-ն տարբեր է զրոյից իսկ x-ը՝ դրական։
• Հակադարձ ֆունկցիայի կանոնը այս դեպքում կարելի է դիտարկել որպես սրա մասնավոր դեպք, երբ ${\textstyle g(x)=-1\!}$։

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(c^{ax}\right)={ac^{ax}\ln c},\qquad c>0}$

այս հավասարումը ճիշտ է կամայական c-ի համար, բայց ${\textstyle c<0}$ դեպքում ածանցյալը կոմպլեքս թիվ է։

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(e^{ax}\right)=ae^{ax}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\log _{c}x\right)={1 \over x\ln c},\qquad c>0,c\neq 1}$

վերևում նշված հավասարումը ճիշտ է կամայական c թիվի համար, բայց ${\textstyle c<0\!}$ դեպքում ածանցյալը կոմպլեքս թիվ է։

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\ln x\right)={1 \over x},\qquad x>0.}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\ln |x|\right)={1 \over x}.}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(x^{x}\right)=x^{x}(1+\ln x).}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(f(x)^{g(x)}\right)=g(x)f(x)^{g(x)-1}{\frac {df}{dx}}+f(x)^{g(x)}\ln {(f(x))}{\frac {dg}{dx}},\qquad {\text{եթե }}f(x)>0,{\text{ և եթե }}{\frac {df}{dx}}{\text{ և }}{\frac {dg}{dx}}{\text{ գոյություն ունեն։}}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(f_{1}(x)^{f_{2}(x)^{\left(...\right)^{f_{n}(x)}}}\right)=\left[\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left(f_{1}(x_{1})^{f_{2}(x_{2})^{\left(...\right)^{f_{n}(x_{n})}}}\right)\right]{\biggr \vert }_{x_{1}=x_{2}=...=x_{n}=x},{\text{ եթե }}f_{i<n}(x)>0{\text{ և }}}$ ${\displaystyle {\frac {df_{i}}{dx}}{\text{ գոյություն ունի։ }}}$

Լոգարիթմական ածանցյալը ֆունկցիայի լոգարիթմի ածանցման կանոնը այլ կերպ նշելու ձև է (բարդ ֆունկցյաի ածանցման կանոնով)․

${\displaystyle (\ln f)'={\frac {f'}{f}}\quad }$ եթե f-ը դրական է։

Լոգարիթմական ածանցյալի մեթոդի միջոցով հնարավոր է նախքան ածանցումը լոգարիթմի և դրա ածանցման կանոնների միջոցով պարզեցնել որոշակի արտահայտություններ։ Լոգարիթմների միջոցով հնարավոր է ազատվել ցուցիչներից, արտադրյալը վերածել գումարի, բաժանումը՝ հանման, որոնցից յուրաքանչյուրը կարող է պարզեցնել հետագա ածանցումը։

${\displaystyle (\sin x)'=\cos x}$	${\displaystyle (\arcsin x)'={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}}$
${\displaystyle (\cos x)'=-\sin x}$	${\displaystyle (\arccos x)'=-{1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}}$
${\displaystyle (\tan x)'=\sec ^{2}x={1 \over \cos ^{2}x}=1+\tan ^{2}x}$	${\displaystyle (\arctan x)'={1 \over 1+x^{2}}}$
${\displaystyle (\cot x)'=-\csc ^{2}x=-{1 \over \sin ^{2}x}=-(1+\cot ^{2}x)}$	${\displaystyle (\operatorname {arccot} x)'=-{1 \over 1+x^{2}}}$
${\displaystyle (\sec x)'=\tan x\sec x}$	${\displaystyle (\operatorname {arcsec} x)'={1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$
${\displaystyle (\csc x)'=-\cot x\csc x}$	${\displaystyle (\operatorname {arccsc} x)'=-{1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

Ընդունված է սահմանել երկու արգումենտով արկտանգես ֆունկցիա՝ ${\displaystyle \arctan(y,x)\!}$։ Այս ֆունկցիայի արժեքները գտնվում են ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]\!}$ միջակայքում և արտահայտում է ${\displaystyle (x,y)\!}$ կետի քառորդը։ Առաջին և չորրորդ քառորդների համար (այսինքն՝ ${\displaystyle x>0\!}$) ${\displaystyle \arctan(y,x>0)=\arctan(y/x)\!}$։ Այս ֆունկցայի մասնակի ածանցյալներն են՝

${\displaystyle {\frac {\partial \arctan(y,x)}{\partial y}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}}$, and ${\displaystyle {\frac {\partial \arctan(y,x)}{\partial x}}={\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}.}$

${\displaystyle (\sinh x)'=\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}$	${\displaystyle (\operatorname {arsinh} \,x)'={1 \over {\sqrt {x^{2}+1}}}}$
${\displaystyle (\cosh x)'=\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}$	${\displaystyle (\operatorname {arcosh} \,x)'={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}$
${\displaystyle (\tanh x)'={\operatorname {sech} ^{2}\,x}}$	${\displaystyle (\operatorname {artanh} \,x)'={1 \over 1-x^{2}}}$
${\displaystyle (\operatorname {coth} \,x)'=-\,\operatorname {csch} ^{2}\,x}$	${\displaystyle (\operatorname {arcoth} \,x)'={1 \over 1-x^{2}}}$
${\displaystyle (\operatorname {sech} \,x)'=-\tanh x\,\operatorname {sech} \,x}$	${\displaystyle (\operatorname {arsech} \,x)'=-{1 \over x{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
${\displaystyle (\operatorname {csch} \,x)'=-\,\operatorname {coth} \,x\,\operatorname {csch} \,x}$	${\displaystyle (\operatorname {arcsch} \,x)'=-{1 \over |x|{\sqrt {1+x^{2}}}}}$

Գամմա ֆունկցիա ${\displaystyle \quad \Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\,dt}$ ${\displaystyle \Gamma '(x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\ln t\,dt}$ ${\displaystyle \,=\Gamma (x)\left(\sum _{n=1}^{\infty }\left(\ln \left(1+{\dfrac {1}{n}}\right)-{\dfrac {1}{x+n}}\right)-{\dfrac {1}{x}}\right)}$ ${\displaystyle \,=\Gamma (x)\psi (x)}$ որտեղ ${\displaystyle \psi (x)}$-ն դիգամմա ֆունկցիան է

Ռիմանի զետա ֆունկցիա${\displaystyle \quad \zeta (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{x}}}}$ ${\displaystyle \zeta '(x)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\ln n}{n^{x}}}=-{\frac {\ln 2}{2^{x}}}-{\frac {\ln 3}{3^{x}}}-{\frac {\ln 4}{4^{x}}}-\cdots }$ ${\displaystyle \,=-\sum _{p{\text{ պարզ}}}{\frac {p^{-x}\ln p}{(1-p^{-x})^{2}}}\prod _{q{\text{ պարզ}},q\neq p}{\frac {1}{1-q^{-x}}}}$

• Վեկտորական անալիզի բանաձևեր
• Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ
• Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ
• Հիպերբոլական ֆունկցիաներ
• Հակադարձ հիպերբոլական ֆունկցիա

• Մաթեմատիկական անալիզի տարրերը։ Հեղինակ Ֆիխտենգոլց
• Mathematical Handbook of Formulas and Tables (3rd edition), S. Lipschutz, M.R. Spiegel, J. Liu, Schaum's Outline Series, 2009, 978-0-07-154855-7.
• The Cambridge Handbook of Physics Formulas, G. Woan, Cambridge University Press, 2010, 978-0-521-57507-2.
• Mathematical methods for physics and engineering, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, 978-0-521-86153-3
• NIST Handbook of Mathematical Functions, F. W. J. Olver, D. W. Lozier, R. F. Boisvert, C. W. Clark, Cambridge University Press, 2010, 978-0-521-19225-5.