Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ

Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ (շրջանային ֆունկցիաներ, արկֆունկցիաներ), մաթեմատիկական ֆունկցիաներ, որոնք համարվում են եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հակադարձը։ Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաները հիմնականում լինում են վեց տեսակի.

• արկսինուս (նշանակում${\displaystyle :\mathrm {arcsin} \,x;\mathrm {arcsin} \,x}$ — սա այն անկյունն է, որի սինուսը հավասար է ${\displaystyle x}$)
• արկկոսինուս (նշանակում։ ${\displaystyle \mathrm {arccos} \,x;\mathrm {arccos} \,x}$ — սա այն անկյունն է, որի կոսինուսը հավասար է ${\displaystyle x}$ և այդպես շարունակ)
• արկտանգենս (նշանակում։ ${\displaystyle \mathrm {arctg} \,x}$; գրականության մեջ նաև՝ ${\displaystyle \mathrm {arctan} \,x}$)
• արկկոտանգենս (նշանակում։ ${\displaystyle \mathrm {arcctg} \,x}$; գրականության մեջ՝ ${\displaystyle \mathrm {arccot} \,x}$ կամ ${\displaystyle \mathrm {arccotan} \,x}$)
• արկսեկանս (նշանակում։ ${\displaystyle \mathrm {arcsec} \,x}$)
• արկկոսեկանս (նշանակում։ ${\displaystyle \mathrm {arccosec} \,x}$; գրականության մեջ՝ ${\displaystyle \mathrm {arccsc} \,x}$)

Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների անունները ստեղծվել են համապատասխան եռանկյունաչափական ֆունկցիաներին «արկ-» նախածանցը ավելացնելով (լատին․՝ arcus — աղեղ)։ Դա կապված է նրա հետ, որ հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների երկրաչափական արժեքները կապված են միավոր շրջանագծի վրա այդ աղեղի երկարությունից (կամ անկյունից)։ Սովորական սինուսը հնարավորություն է տալիս աղեղից գտնել նրան ձգող լարը, իսկ հակադարձ ֆունկցիան որոշում է հակառակ խնդիրը։ Եռակնյունաչափական ֆունկցիաների հակադարձ եղանակի մասին հայտնել է ավստրիացի մաթեմատիկոս Կարլ Շերֆերը (գերմ.՝ Karl Scherffer; 1716-1783), բայց դրա արմատները հիմնակում պատկանում էին Լագրանժին։ Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների համար առաջին հատուկ նշանը ստեղծել է Դանիել Բերնուլին՝ 1729 թվականին։ Անգլիական և գերմանական շատ դպրոցների մինչև 19-րդ դարի վերջը առաջարկում էին այլ նշանակումներ. ${\displaystyle \sin ^{-1},{\frac {1}{\sin }}}$, սակայն դրանք չընդունվեցին^[1]։ Միայն երբեմն այլ գրականության և գիտական/ինժեներական հաշվիչներում արկսինուսի, արկկոսինուսի և այլնի համար օգտագործվում էր sin⁻¹, cos⁻¹ եղանակը^[2], - դա ընդհանրապես ճիշտ չէր համարվում, քանի որ այդեղ կարող էր շփոթմունք լինել -1 աստիճանի դեպքում։

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հակադարձները երկիմաստ էին։ Այսինքն արկֆունկցիաների արժեքները իրենցից ներկայացնում էին բազմաթիվ անկյուններ (աղեղի), որի պատճառով համապատասխան ուղիղ եռանկյունաչափական ֆունկցիայի համար ճիշտ էր տվյալ արժեքը։ Օրինակ, ${\displaystyle \arcsin 1/2}$ իրենից ներկայացնում է բազմաթիվ անկյուններ՝ ${\displaystyle \left({\frac {\pi }{6}},{\frac {5\pi }{6}},{\frac {13\pi }{6}},{\frac {17\pi }{6}}\dots ~(30^{\circ },150^{\circ },390^{\circ },510^{\circ }\dots )\right)}$, որի սինուսը հավասար է ${\displaystyle 1/2}$: Այս բազմաթիվ արժեքների արկֆունկցիային հատկացվում է իր հիմնական արժեքները, որոնք սովորաբար պետք է նկատի ունենալ երբ խոսվում է արկսինուս, արկկոսինուս և այլ ֆունկցիաների մասին։
Ընդհանուր առմամբ ${\displaystyle -1\leqslant \alpha \leqslant 1}$ պայմանի դեպքում ${\displaystyle \sin x=\alpha }$ հավասարում կարող է ներկայանալ հետևյալ ձևով՝ ${\displaystyle x=(-1)^{n}\arcsin \alpha +\pi n,~n=0,\pm 1,\pm 2,\dots ~.}$^[3]

${\displaystyle \arcsin x+\arccos x={\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle \operatorname {arctg} \,x+\operatorname {arcctg} \,x={\frac {\pi }{2}}}$

Անուն	Նշանակում	Սահմանում	Միջակայք	Անվանական արժքի միջակայք (ռադիաններով)	Անվանական արժեքի միջակայք (աստիճաններով)
arcsine	y = arcsin x	x = sin y	−1 ≤ x ≤ 1	−π/2 ≤ y ≤ π/2	−90° ≤ y ≤ 90°
arccosine	y = arccos x	x = cos y	−1 ≤ x ≤ 1	0 ≤ y ≤ π	0° ≤ y ≤ 180°
arctangent	y = arctan x	x = tg y	բոլոր իրական թվերը	−π/2 < y < π/2	−90° < y < 90°
arccotangent	y = arccot x	x = ctg y	բոլոր իրական թվերը	0 < y < π	0° < y < 180°
arcsecant	y = arcsec x	x = sec y	x ≤ −1 or 1 ≤ x	0 ≤ y < π/2 or π/2 < y ≤ π	0° ≤ y < 90° or 90° < y ≤ 180°
arccosecant	y = arccsc x	x = csc y	x ≤ −1 or 1 ≤ x	−π/2 ≤ y < 0 or 0 < y ≤ π/2	-90° ≤ y < 0° or 0° < y ≤ 90°

Եռանկյունաչափական և հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաները աղյուսակավորված են ներքևում.

${\displaystyle \theta }$	${\displaystyle \sin \theta }$	${\displaystyle \cos \theta }$	${\displaystyle \tan \theta }$	Գծագիր
${\displaystyle \arcsin x}$	${\displaystyle \sin(\arcsin x)=x}$	${\displaystyle \cos(\arcsin x)={\sqrt {1-x^{2}}}}$	${\displaystyle \tan(\arcsin x)={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
${\displaystyle \arccos x}$	${\displaystyle \sin(\arccos x)={\sqrt {1-x^{2}}}}$	${\displaystyle \cos(\arccos x)=x}$	${\displaystyle \tan(\arccos x)={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}}$
${\displaystyle \arctan x}$	${\displaystyle \sin(\arctan x)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$	${\displaystyle \cos(\arctan x)={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$	${\displaystyle \tan(\arctan x)=x}$
${\displaystyle \operatorname {arccot} x}$	${\displaystyle \sin(\operatorname {arccot} x)={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$	${\displaystyle \cos(\operatorname {arccot} x)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$	${\displaystyle \tan(\operatorname {arccot} x)={\frac {1}{x}}}$
${\displaystyle \operatorname {arcsec} x}$	${\displaystyle \sin(\operatorname {arcsec} x)={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}}$	${\displaystyle \cos(\operatorname {arcsec} x)={\frac {1}{x}}}$	${\displaystyle \tan(\operatorname {arcsec} x)={\sqrt {x^{2}-1}}}$
${\displaystyle \operatorname {arccsc} x}$	${\displaystyle \sin(\operatorname {arccsc} x)={\frac {1}{x}}}$	${\displaystyle \cos(\operatorname {arccsc} x)={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}}$	${\displaystyle \tan(\operatorname {arccsc} x)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

Լրացուցիչ անկյուններ.

${\displaystyle {\begin{aligned}\arccos x&={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x\\[0.5em]\operatorname {arccot} x&={\frac {\pi }{2}}-\arctan x\\[0.5em]\operatorname {arccsc} x&={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arcsec} x\end{aligned}}}$

Բացասական արգումենտներ.

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(-x)&=-\arcsin x\\\arccos(-x)&=\pi -\arccos x\\\arctan(-x)&=-\arctan x\\\operatorname {arccot}(-x)&=\pi -\operatorname {arccot} x\\\operatorname {arcsec}(-x)&=\pi -\operatorname {arcsec} x\\\operatorname {arccsc}(-x)&=-\operatorname {arccsc} x\end{aligned}}}$

Դրական արգումենտներ.

${\displaystyle {\begin{aligned}\arccos(1/x)&=\operatorname {arcsec} x\\[0.3em]\arcsin(1/x)&=\operatorname {arccsc} x\\[0.3em]\arctan(1/x)&={\frac {\pi }{2}}-\arctan x=\operatorname {arccot} x\,,{\text{if}}x>0\\[0.3em]\arctan(1/x)&=-{\frac {\pi }{2}}-\arctan x=\operatorname {arccot} x-\pi \,,{\text{ if}}x<0\\[0.3em]\operatorname {arccot}(1/x)&={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccot} x=\arctan x\,,{\text{ if}}x>0\\[0.3em]\operatorname {arccot}(1/x)&={\frac {3\pi }{2}}-\operatorname {arccot} x=\pi +\arctan x\,,{\text{ if}}x<0\\[0.3em]\operatorname {arcsec}(1/x)&=\arccos x\\[0.3em]\operatorname {arccsc}(1/x)&=\arcsin x\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\arccos x&=\arcsin {\sqrt {1-x^{2}}}\,,{\text{ if}}0\leq x\leq 1\\\arctan x&=\arcsin {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin x&=2\arctan {\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}\\[0.5em]\arccos x&=2\arctan {\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{1+x}}\,,{\text{ if}}-1<x\leq +1\\[0.5em]\arctan x&=2\arctan {\frac {x}{1+{\sqrt {1+x^{2}}}}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle \arctan u+\arctan v=\arctan \left({\frac {u+v}{1-uv}}\right){\pmod {\pi }}\,,\quad uv\neq 1\,}$

Ստացվածը տանգենսների գումարման բանաձևն է.

${\displaystyle \tan(\alpha +\beta )={\frac {\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }}\,,}$

${\displaystyle \alpha =\arctan u\,,\quad \beta =\arctan v\,:}$

Արկսինուս m թվից կոչվում է այն x անկյունը՝ արտահայտված ռադիաններով, որի համար ${\displaystyle \sin x=m,\,-{\frac {\pi }{2}}\leqslant x\leqslant {\frac {\pi }{2}},\,|m|\leqslant 1:}$

${\displaystyle y=\sin x}$ ֆունկցիան անընդհատ է և սահմանափակ է իր թվային առանցքի վրա։ ${\displaystyle y=\arcsin x}$ ֆունկցիան համարվում է խիստ աճող։

• ${\displaystyle \sin(\arcsin x)=x\qquad }$, ${\displaystyle -1\leqslant x\leqslant 1}$ միջակայքում,
• ${\displaystyle \arcsin(\sin y)=y\qquad }$, ${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}\leqslant y\leqslant {\frac {\pi }{2}}}$ միջակայքում,
• ${\displaystyle D(\arcsin x)=[-1;1]\qquad }$ (որոշման տիրույթ),
• ${\displaystyle E(\arcsin x)=\left[-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right]\qquad }$ (փոփոխման տիրույթ)։

• ${\displaystyle \arcsin(-x)=-\arcsin x\qquad }$ (ֆունկցիան կենտ է).
• ${\displaystyle \arcsin x>0\,}$, ${\displaystyle 0<x\leqslant 1}$.
• ${\displaystyle \arcsin x=0\,}$, ${\displaystyle x=0.}$
• ${\displaystyle \arcsin x<0\,}$, ${\displaystyle -1\leqslant x<0.}$
• ${\displaystyle \arcsin x=\left\{{\begin{matrix}\arccos {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad 0\leqslant x\leqslant 1\\-\arccos {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad -1\leqslant x<0\end{matrix}}\right.}$
• ${\displaystyle \arcsin x=\operatorname {arctg} {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
• ${\displaystyle \arcsin x=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {arcctg} \,{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}},\qquad 0<x\leqslant 1\\\operatorname {arcctg} \,{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}-\pi ,\qquad -1\leqslant x<0\end{matrix}}\right.}$

Տրված է ${\displaystyle y=\sin x}$ ֆունկցիան։ Իր որոշման ողջ տիրույթի վրա այն համարվում է մոնոտոն, բայց դրա հակադարձ ${\displaystyle y=\arcsin x}$ ֆունկցիան մոնոտոն չի համարվում։ Դրա համար մենք նշում ենք, որ ֆունկցիան կտրուկ աճող է իր փոփոխման տիրույթի վրա՝ ${\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right]}$: ${\displaystyle y=\sin x}$ ֆունկցիայի յուրաքանչյուր արժեք ${\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right]}$ միջակայքում հասնում է միակ արգումենտի արժեքին և այդ միջակայքում համարվում է ${\displaystyle y=\arcsin x}$ ֆունկցիայի հակադարձը, որի գրաֆիկը համաչափ է ${\displaystyle y=\sin x}$ ուղղի նկատմամբ՝ ${\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right]}$ միջակայքում։ (հակադարձ ֆունկցիաների գրաֆիկները համարվում են կոորդինատային ${\displaystyle Oxy}$ հարթության առաջին և երրորդ քառորդների կիսորդը)

Արկոսինուս m թվից կոչվում է այն x անկյունը՝ արտահայտված ռադիաններով, որի համար ${\displaystyle \cos x=m,\qquad 0\leqslant x\leqslant \pi ,|m|\leqslant 1:}$

${\displaystyle y=\cos x}$ ֆունկցիան անընդհատ և սահմանափակ է իր որոշման տիրույթի վրա։ ${\displaystyle y=\arccos x}$ ֆունկցիան համարվում է խիստ նվազող։

• ${\displaystyle \cos(\arccos x)=x}$, ${\displaystyle -1\leqslant x\leqslant 1,}$
• ${\displaystyle \arccos(\cos y)=y}$, ${\displaystyle 0\leqslant y\leqslant \pi .}$
• ${\displaystyle D(\arccos x)=[-1;1],}$ (որոշման տիրույթ),
• ${\displaystyle E(\arccos x)=[0;\pi ].}$ (փոփոխման տիրույթ)։

• ${\displaystyle \arccos(-x)=\pi -\arccos x\,}$ (ֆունկցիան համաչափ է կոորդինատային հարթության ${\displaystyle \left(0;{\frac {\pi }{2}}\right)}$ կետի նկատմամբ), համարվում է ո՛չ զույգ, ո՛չ կենտ ֆունկցիա։
• ${\displaystyle \arccos x>0\,}$, ${\displaystyle -1\leqslant x<1.}$
• ${\displaystyle \arccos x=0\,}$, ${\displaystyle x=1.\,}$
• ${\displaystyle \arccos x={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x.}$
• ${\displaystyle \arccos x=\left\{{\begin{matrix}\arcsin {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad 0\leqslant x\leqslant 1\\\pi -\arcsin {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad -1\leqslant x<0\end{matrix}}\right.}$
• ${\displaystyle \arccos x=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {arctg} \,{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}},\qquad 0<x\leqslant 1\\\pi +\operatorname {arctg} \,{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}},\qquad -1\leqslant x<0\end{matrix}}\right.}$
• ${\displaystyle \arccos x=2\arcsin {\sqrt {\frac {1-x}{2}}}}$
• ${\displaystyle \arccos x=2\arccos {\sqrt {\frac {1+x}{2}}}}$
• ${\displaystyle \arccos x=2\operatorname {arctg} {\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}}$

Տրված է ${\displaystyle y=\cos x}$ ֆունկցիան։ Իր որոշման ողջ տիրույթի վրա այն համարվում է մոնոտան, սակայն նրա հակադարձ ${\displaystyle y=\arccos x}$ ֆունկցիան չի համարվում։ Այդ պատճառով մենք դիտարկում ենք միջակայք, որի վրա այն խիստ նվազող է և ընդունում է իր բոլոր արժեքները՝ ${\displaystyle [0;\pi ]}$: ${\displaystyle y=\cos x}$ միջակայքում ֆունկցիան մոնոտոն նվազող է և իր բոլոր արժեքները ընդունում է միայն մեկ անգամ, իսկ ${\displaystyle [0;\pi ]}$ միջակայքում ${\displaystyle y=\arccos x}$ ֆունկցիայի հակադարձն է, որի գրաֆիկը ${\displaystyle y=x}$ ուղղի նկատմամբ համաչափ է ${\displaystyle y=\cos x}$ ֆունկցիայի գրաֆիկի հետ՝ ${\displaystyle [0;\pi ]}$ միջակայքում։

Արկտանգենս m թվից կոչվում է այն ${\displaystyle \alpha }$ անկյունը՝ արտահայտված ռադիանով, որի համար ${\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha =m,\qquad -{\frac {\pi }{2}}<\alpha <{\frac {\pi }{2}}:}$

${\displaystyle y=\operatorname {arctg} x}$ ֆունկցիան անընդհատ և սահմանափակ է իր որոշման տիրույթի վրա։ ${\displaystyle y=\operatorname {arctg} x}$ ֆունկցիան համարվում է խիստ աճող։

• ${\displaystyle \operatorname {tg} \,(\operatorname {arctg} \,x)=x}$, ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ,}$
• ${\displaystyle \operatorname {arctg} \,(\operatorname {tg} \,y)=y}$, ${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}},}$
• ${\displaystyle D(\operatorname {arctg} \,x)=(-\infty ;\infty ),}$
• ${\displaystyle E(\operatorname {arctg} \,x)=\left(-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right)}$

• ${\displaystyle \operatorname {arctg} (-x)=-\operatorname {arctg} x\qquad }$
• ${\displaystyle \operatorname {arctg} x=\arcsin {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$
• ${\displaystyle \operatorname {arctg} x=\arccos {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$, x > 0
• ${\displaystyle \operatorname {arctg} x=\operatorname {arcctg} {\frac {1}{x}}}$

Տրված է ${\displaystyle y=\operatorname {tg} \,x}$ ֆունկցիան։ Իր որոշման ողջ տիրույթի վրա այն համարվում է մոնոտոն, իսկ նրա հակադարձ ${\displaystyle y=\operatorname {arctg} \ x}$ ֆունկցիան չի համարվում։ Այդ պատճառով դիտարկում ենք միջակայք, որի վրա այն խիստ աճող է և ընդունում է իր բոլոր արժեքները միայն մեկ անգամ՝ ${\displaystyle \left(-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right):}$ Այդ միջակայքի վրա ${\displaystyle y=\operatorname {tg} \ x}$ ֆունկցիան խիստ մոնոտոն աճող է և ընդունում է իր բոլոր արժեքները միայն մեկ անգամ, ուստի ${\displaystyle \left(-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right)}$ միջակայքի վրա այն համարվում է ${\displaystyle y=\operatorname {arctg} \ x}$ ֆունկցիայի հակադարձը, որի գրաֆիկը ${\displaystyle y=\operatorname {tg} \,x}$ ֆունկցիայի գրաֆիկի հետ հակադարձ է ${\displaystyle y=x}$ ուղղի նկատմամբ՝ ${\displaystyle \left(-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right)}$ հատվածում։

Արկկոտանգենս m թվից կոչվում է այն x անկյունը՝ արտահայտված ռադիաններով, որի համար ${\displaystyle \operatorname {ctg} \,x=m,\qquad 0<x<\pi :}$

${\displaystyle y=\operatorname {arcctg} \,x}$ ֆունկցիան անընդհատ և սահմանափակ է իր ոչոշման տիրույթի վրա։ ${\displaystyle y=\operatorname {arcctg} \,x}$ Ֆունկցիան համարվում է խիստ նվազող։

• ${\displaystyle \operatorname {ctg} \,(\operatorname {arcctg} \,x)=x}$, ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ,}$
• ${\displaystyle \operatorname {arcctg} \,(\operatorname {ctg} \,y)=y}$, ${\displaystyle 0<y<\pi ,}$
• ${\displaystyle D(\operatorname {arcctg} \,x)=(-\infty ;\infty ),}$
• ${\displaystyle E(\operatorname {arcctg} \,x)=(0;\pi ):}$

• ${\displaystyle \operatorname {arcctg} \,(-x)=\pi -\operatorname {arcctg} \,x}$ (ֆունկցիայի գրաֆիկը համաչափ է ${\displaystyle \left(0;{\frac {\pi }{2}}\right)}$ կետի նկատմամբ)։
• ${\displaystyle \operatorname {arcctg} \,x>0}$ ցանկացած ${\displaystyle x}$-ի համար։
• ${\displaystyle \operatorname {arcctg} \,x=\left\{{\begin{matrix}\arcsin {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}},\qquad x\geqslant 0\\\pi -\arcsin {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}},\qquad x<0\end{matrix}}\right.}$
• ${\displaystyle \operatorname {arcctg} x=\pi /2-\operatorname {arctg} x:}$

Տրված է ${\displaystyle y=\operatorname {ctg} \,x}$ ֆունկցիան։ Իր որոշման ողջ տիրույթի վրա այն համարվում է մոնոտոն, իսկ նրա հակադարձ ${\displaystyle y=\operatorname {arcctg} \,x}$ ֆունկցիան չի համարվում։ Այդ պատճառով դիտարկում ենք միջակայք, որի վրա այն խիստ նվազող է և ընդունում է իր բոլոր արժեքները միայն մեկ անգամ՝ ${\displaystyle (0;\pi )}$: Այս միջակայքում ${\displaystyle y=\operatorname {ctg} \,x}$ ֆունկցիան խիստ նվազող է և ընդունում է իր բոլոր արժեքները միայն մեկ անգամ, ուստի ${\displaystyle (0;\pi )}$ միջակայքում համարվում է ${\displaystyle y=\operatorname {arcctg} \,x}$ ֆունկցիայի հակադարձը, որի գրաֆիկը ${\displaystyle y=x}$ ուղղի նկատմամաբ համաչափ է ${\displaystyle y=\operatorname {ctg} \,x}$ ֆունկցիայի գրաֆիկին՝ ${\displaystyle (0;\pi )}$ միջակայքում։

Արկկոտանգենս ֆունկցիայի գրաֆիկը ստացվում է արկտանգենս ֆունկցիայի միջոցով, վերջինս օրդինատների առանցքով արտապատկերելով (որը պետք է փոխարինել արգումենտի նշանով. ${\displaystyle x\rightarrow -x}$) և բարձրացնելով վերև π/2 միավորով. դա կարող ենք տերկայացնել հետևյալ բանաձևով՝ ${\displaystyle \operatorname {arcctg} x=\operatorname {arctg} (-x)+\pi /2:}$

${\displaystyle \mathop {\operatorname {arcsec} } \,(x)\,=\operatorname {arccos} \left({\frac {1}{x}}\right)\,}$

${\displaystyle \mathop {\operatorname {arccosec} } \,(y)\,=\operatorname {arcsin} \left({\frac {1}{y}}\right)\,}$

${\displaystyle (\arcsin x)'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
${\displaystyle (\arccos x)'=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
${\displaystyle (\operatorname {arctg} \,x)'={\frac {1}{\ 1+x^{2}}}}$
${\displaystyle (\operatorname {arcctg} \,x)'=-{\frac {1}{\ 1+x^{2}}}}$

Իրական և կոմպլեքս x-երի համար.

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \arcsin x\,dx&{}=x\,\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C,\\\int \arccos x\,dx&{}=x\,\arccos x-{\sqrt {1-x^{2}}}+C,\\\int \operatorname {arctg} \,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arctg} \,x-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C,\\\int \operatorname {arcctg} \,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arcctg} \,x+{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C,\\\int \operatorname {arcsec} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec} x-\ln \left(x\left(1+{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2}}}\,\right)\!\right)+C,\\\int \operatorname {arccosec} \,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arccosec} \,x+\ln \left(x\left(1+{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2}}}\,\right)\!\right)+C:\end{aligned}}}$

Իրական թվերի համար՝ x ≥ 1:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec} x-\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C,\\\int \operatorname {arccosec} \,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arccosec} \,x+\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C:\end{aligned}}}$

Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաները օգտագործում են եռանկյան անկյունները գտնելու համար, եթե հայտնի են նրա կողմները, օրինակ կոսինուսների թեորեմի միջոցով։

Ուղղանկյուն եռանկյան մեջ այդ ֆունկցիաները միանգամից տալիս են անկյունը.

α = arcsin (a/c) = arccos (b/c) = arctg (a/b) = arccosec (c/a) = arcsec (c/b) = arcctg (b/a)

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin z&{}=-i\ln(iz+{\sqrt {1-z^{2}}}),\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\arccos z&{}={\dfrac {\pi }{2}}+i\ln(iz+{\sqrt {1-z^{2}}}),\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arctg} \,z&{}={\dfrac {i}{2}}(\ln(1-iz)-\ln(1+iz)),\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcctg} \,z&{}={\dfrac {i}{2}}\left(\ln \left({\dfrac {z-i}{z}}\right)-\ln \left({\dfrac {z+i}{z}}\right)\right),\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcsec} z&{}=\arccos \left(z^{-1}\right)={\dfrac {\pi }{2}}+i\ln \left({\sqrt {1-{\dfrac {1}{z^{2}}}}}+{\dfrac {i}{z}}\right),\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arccosec} \,z&{}=\arcsin \left(z^{-1}\right)=-i\ln \left({\sqrt {1-{\dfrac {1}{z^{2}}}}}+{\dfrac {i}{z}}\right).\end{aligned}}}$

• Математическая энциклопедия / Гл. ред. И.М. Виноградов. — М.: «Советская Энциклопедия», 1982. — Т. 3. — с. 1135.
• Обратные тригонометрические функции // Энциклопедический словарь юного математика / Савин А.П. — М.: Педагогика, 1985. — С. 220–221. — 352 с.
• Построение графиков обратных тригонометрических функций онлайн
• Онлайн калькулятор: обратные тригонометрические функции

• Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ
• Եռանկյունաչափության պատմություն