Կոորդինատային համակարգ

Այս բաժնում տրվում են բացատրություններ էլեմենտար մաթեմատիկայում առավել օգտագործվող կոորդինատային համակարգերին։

P կետի դիրքը հարթության վրա որոշվում է դեկարտյան կոորդինատներով՝ ${\displaystyle (x,y)}$  թվազույգի միջոցով.

• ${\displaystyle x}$  — P կետից հեռավորությունը մինչև y առանցք, հաշվի առնելով նշանը
• ${\displaystyle y}$  — P կետից հեռավորությունը մինչև x առանցք, հաշվի առնելով նշանը։

Տարածության մեջ արդեն անհրաժեշտ են 3 կոորդինատներ՝ ${\displaystyle (x,y,z):}$ 

• ${\displaystyle x}$  — P կետից հեռավորությունը մինչև yz հարթություն
• ${\displaystyle y}$  — P կետից հեռավորությունը մինչև xz հարթություն
• ${\displaystyle z}$  — P կետից հեռավորությունը մինչև xy հարթություն։

Հարթության վրա կիրառվող բևեռային կոորդինատային համակարգում P կետի դիրքը որոշվում է կոորդինատների սկզբնակետից նրա r = |OP| հեռավորությամբ և իր շառավիղ-վեկտորի Ox առանցքի նկատմամբ φ անկյունով։

Տարածության միջ կիրառվում են բևեռային կոորդինատների ընդհանրացումները՝ գլանային և գնդային կոորդինատային համակարգերը։

Գլանային կոորդինատներ՝ բևեռայինի եռաչափ անալոգ, որում P կետը ներկայացվում է կարգավորված եռյակով ${\displaystyle (r,\varphi ,z):}$  Դեկարտյան կոորդինատային համակարգի տերմիններում,

• ${\displaystyle 0\leqslant {r}}$  (շառավիղ)՝ z առանցքից մինչև P կետ հեռավորությունը,
• ${\displaystyle 0\leqslant \varphi <360^{\circ }}$  (ազիմուտ կամ աշխարհագրական երկայնություն) ՝ x առանցքի դրական կեսի և բևեռից մինչև P կետը տարած հատվածի xy հարթության վրա պրեյեկցիայի կազմած անկյունը։
• ${\displaystyle z}$  (բարձրություն) հավասար է P կետի դեկարտյան z կոորդինատին։

Ծանոթագրություն։ գրականության մեջ առաջին (շառավղային) կոորդինատի համար երբեմն օգտագործվում է ρ նշանակումը, երկրորդի (անկյունային կամ ազիմուտային) համար՝   θ նշանակումը, երրորդ կոորդինատների համար՝ h նշանակումը։

Բևեռային կոորդինատները ունեն մեկ թերություն՝ φ նշանակումը որոշված չէ r = 0 դեպքում։

Գլանային կոորդինատները օգտակար են ինչ-որ ատանցքի նկատմամբ սիմետրիկ համակարգերի ուսումնասիրության համար։ Օրինակ, R շառավղով երկար գլանը դեկարտյան կոորդինատներում (գլանի առանցքի հետ համընկնող z առանցքով) ունի ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}}$  հավասարումը, այդ դեպքում որպես գլանային կոորդինատներով ավելի պարզ է երևում՝ r = R։

Գնդային կոորդինատներ՝ բևեռայինների եռաչափ անալոգ։ Գլանային կոորդինատային համակարգում P կետի դիրքը որոշվում է երեք բաղադիրչներով՝ ${\displaystyle (\rho ,\varphi ,\theta ):}$  Դեկարտյան կոորդինատային համակարգի տերմիններով՝

• ${\displaystyle 0\leqslant \rho }$  (շառավիղ)՝ P կետից մինչև բևեռ հեռավորությունը,
• ${\displaystyle 0\leqslant \varphi \leqslant 360^{\circ }}$  (ազիմուտ կամ երկարություն)՝ x դրական կիսաառանցքի կազմած անկյունը xy հարթության վրա բևեռից մինչև P կետը հատվածի պրոյեկցիայի հետ,
• ${\displaystyle 0\leqslant \theta \leqslant 180^{\circ }}$  (լայնություն կամ բևեռային անկյուն)՝ z դրական կիսառանցքի և բևեռից մինչև P կետը տարված հատվածի միջև անկյուն։

Ծանոթագրություն։ Գրականության մեջ երբեմն ազիմուտը նշանակվում է θ, իսկ բևեռային անկյունը՝ φ։ Երբեմն շառավղային կոորդինատների համար օգտագործում են r ρ-ի փոխարեն։ Բացի այդ ազիմուտի համար անկյունների միջակայքը կարող է ընտրվել որպես (−180°, +180°]՝ [0°, +360°) միջակայքի փոխարեն։ Վերջապես, բևեռային անկյունը կարող է հաշվվել ոչ z առանցքի դրական ուղղությունից, այլ xy հարթությունից. այդ դեպքում այն ընկած է [−90°, +90°] միջակայքում, այլ ոչ թե [0°, 180°] միջակայքում։ Երբեմն կոորդինատների կարգը եռյակով ընտրվում է նկարագրվածից լավագույնը, օրինակ, բևեռային և ազիմուտային անկյունները կարող են տեղափոխվել։

Գնդային կոորդինատային համակարգը ևս ունի թերություն. φ և θ որոշված չեն, եթե ρ = 0, φ անկյունը ևս որոշված չէ նաև θ = 0 ու θ = 180° (կամ θ = ±90° համար, այդ անկյան համար համապատասխան դիապազոնի ընդունման դեպքում) սահմանային արժեքների համար։

P կետի իր գնդային կոորդինատներով կառուցման համար պետք է բևեռից z դրական կիսաառանցքի երկարությամբ առանձնացնել ρ հավասար հատված, շրջել նրան θ անկյան տակ y առանցքի շուրջ x դրական կիսառանցքի ուղղությամբ, և հետո շրջել θ անկյան տակ z առանցքի շուրջ y դրական կիսառանքի ուղղությամբ։

Գնդային կոորդինատները օգտակար են կետի նկատմամբ սիմետրիկ համակարգերի ուսումնասիրության դեպքում։ Այսպիսով, R շառավղով գնդի մակերևույթի հավասարումը դեկարտյան կոորդինատներով գնդի կենտրոնով հաշվարկի սկզբով ունի ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}}$  տեսքը, այդ դեպքում գնդային կոորդինատներով նա դառնում է բավականին պարզ՝ ${\displaystyle \rho =R:}$ 

• Աֆինական (թեքանկյուն) կոորդինատային համակարգ՝ աֆինական տարածությունում ուղղագիծ կոորդինատային համակարգ։ Հարթության վրա տրվում է О կոորդինատների սկիզբնակետով և երկու ոչ կոլենյար կարգավորված վեկտորներով, որոնք իրենցից ներկայացնում են աֆինական բազիս։ Կոորդինատների առանցքներ տվյալ դեպքում կոչվում են կոորդինատների սկզբնակետով անցնող, բազիսային վեկտորներին զուգահեռ ուղիղները, որոնք իրենց հերթին տալիս են առանցքների դրական ուղղությունները։ Եռաչափ տարածությունում, հետևաբար աֆինական կոորդինատային համակարգը տրվում է գծայնորեն անկախ վեկտորների եռյակով և կոորդինատների սկզբնակետով։ Ինչ-որ М կետի կոորդինատների որոշման համար հաշվում են բազիսի վեկտորներով ОМ վեկտորի վերլուծման գործակիցները^[1]։
• Բարիցենտրիկ կոորդինատներ առաջին անգամ ներմուծվել են 1827 թվականին Ա.Մյոբուսի կողմից՝ եռանկյան գագաթներում տեղակայված զանգվածների ծանրության կենտրոնի հարցը լուծելիս։ Նրանք աֆինորեն ինվարիանտ են, իրենցից ներկայացնում են ընդհանուր համասեռ կոորդինատների մասնավոր դեպք։ Բարիցենտրալ կոորդինատներով կետը տեղակայված է n չափանի Eⁿ վեկտորական տարածությունում, իսկ այդ դեպքում հենց կոորդինատները պատկանում են կետերի ֆիքսված համակարգին, որոնք չեն պատկանում (n−1) չափանի ենթատարածությանը։ Բարիցենտրալ կոորդինատները օգտագործվում են նաև հանրահաշվական տոպոլոգիայում սիմպլեքս կետերի նկատմամբ^[2]։
• Բիանգուլյար կոորդինատներ՝ երկկենտրոն կոորդինատների մասնավոր դեպք, կոորդինատային համակարգ հարթության վրա, երկու С₁ և С₂ ֆիքսված կետերով տրված, որոնցով անցնում է ուղիղ, որը հանդես է գալիս որպես աբցիսների առանցք։ Ինչ-որ P կետի դիրք, որը ընկած չի այդ ուղղի վրա, որոշվում է PC₁C₂ և PC₂C₁ անկյուններով։
• Երկբևեռ կոորդինատներ՝ բնութագրվում է նրանով, որ որպես հարթության վրա կոորդինատների գիծ այդ դեպքում հանդես են գալիս երկու դրական A և B շրջակայքերի ընտանիք,ինչպես նաև իրենց օրթոգոնալ շրջակայքերի ընտանիքներ։ Երկբևեռ կոորդինատների փոխակերպումը դեկարտյանի տեղի է ունենում հատուկ բանաձևերի միջոցով։ Տարածության մեջ երկբևեռ կոորդինատները կոչվում են երկգնդային. այդ դեպքում մակերևույթային կոորդինատները հանդիսանում են գնդեր՝ շրջանագծի աղեղի պտույտով առաջացած մակերևույթներ, ինչպես նաև O_z առանցքով անցնող կիսահարթություններ^[3]։
• Երկկենտրոն կոորդինատներ՝ կոորդինատների ցանկացած համակարգ, որը հիմնված է երկու ֆիքսված կետերի վրա և որոնցից ելնելով ինչ-որ այլ կետի դիրք որպես կանոն որոշվում է նրա ջնջման աստճանով կամ ընդհանրապես այդ երկու հիմնական կետերի դիրքերով։ Նման տիպի համակարգերը կարող են օգտակար լինել գիտական հետազոտությունների կոնկրետ բնագավառներում^[4][5]։
• Երկգլանային կոորդինատներ՝ կոորդինատների համակարգ, որը ձևավորվում է այն դեպքում, եթե երկբևեռ կոորդինատային համակարգը O_xy հարթության վրա զուգահեռ տեղափոխվում է O_z առանցքի երկայնքով։Այդ դեպքում որպես կոորդինատային մակերևույթներ հանդես են գալիս շրջանային գլանների զույգ ընտանիքներ, որոնց առանցքները զուգահեռ են, իրենց որթոգոնալ շրջանային գլանների ընտանիք, ինչպես նաև հարթություն։ Երկգլանային կոորդինատները դեկարտյանի վերափոխելու համար եռաչափ տարածության համար նույնպես կիրառվում են հատուկ բանաձևեր^[6]։
• Կոնային կոորդինատներ՝ կոորդինատների եռաչափ օրթոգոնալ համակարգ, բաղկացած համակենտրոն գնդերից, որոնք նկարագրվում են իրենց շառավղերով և x և z առանցքների երկայնքով տեղակայված երկու ուղղահայաց կոների ընտանիքներով^[7]։
• Ռինդլերի կոորդինատներ՝ կիրառվում է առավելապես հարաբերականության տեսության շրջանակներում և նկարագրում են հարթ տարածաժամանակի այն մասը, որը սովորաբար կոչվում է Մինկովսկու տարածություն։ Հարաբերականության հատուկ տեսությունում հավասարաչափ արագացող մասնիկը գտնվում է հիպերբոլական շարժման մեջ, և յուրաքանչյուր այդպիսի մասնիկի համար Ռիդլենի կոորդինատներով կարող է ընտրված լինել այնպիսի հաշվարկի սկզբնակետ, որի նկատմամբ նա կհանդարտվի։
• Պարաբոլական կոորդինատներ՝ երկչափ օրթոգոնալ կոորդինատային համակարգ է, որում կոորդինատային գծեր հանդիսանում է համաֆոկուս պարաբոլների ամբողջությունը։ Պարաբոլական կոորդինատների եռաչափ մոդիֆիկացիան ստացվում է այդ պարաբոլների համաչափության առանցքի շուրջ երկչափ համակարգի պտույտի ճանապարհով։ Պարաբոլական կոորդինատներում նույնպես կա պոտենցիալ պրակտիկ կիրառման որոշակի սպեկտոր՝ մասնավորապես, նրանք կարող են օգտագործվել Շտարկի էֆեկտի կիրառման մեջ։ Պարաբոլական կոորդինատները որոշակի հարաբերությամբ կապված են ուղղանկյուն դեկարտյանների հետ^[8]։
• Պրոյեկտիվ կոորդինատներ՝ անվան համաձայն գոյություն ունեն П_n (К) պրոյեկտիվ տարածության մեջ, իրենցից ներկայացնում են փոխադարձ միարժեք համապատասխանություն իր տարրերի և էկվիվալենտության և կարգավորվածության հատկություններով օժտված К մարմնի տարրերի վերջավոր նազմության դասերի միջև։ Պրոյեկտիվ ենթատարածությունների պրոյեկտիվ կոորդինատների որոշման համար բավարար է որոշել պրոյեկտիվ տարածության կետերի համապատասխան կոորդինատները։ Ընդհանուր դեպքում ինչ-որ բազիսի նկատմամբ պրոյեկտիվ կոորդինատները ներմուծվում են հենց պրոյեկտիվ միջոցներով^[9]։
• Տորոիդալ կոորդինատային համակարգ՝ կոորդինատների եռաչափ օրթոգոնալ համակարգ, ստացվում է իր երկու ֆոկուսը բաժանող առանցքի շուրջը երկչափ երկբևեռ կոորդինատային համակարգի պտտումից։ Երկբևեռ համակարգի ֆոկուսները համապատասխանաբար վերածվում են տորոիդալ կոորդինատային համակարգի xy հարթության а շառավղով օղակի, այն ժամանակ, երբ z առանցքը դառնում է համակարգի պտտման առանցքը։ Կիզակետային օղակը նույնպես երբեմն անվանում են բազային շրջակայք^[10]։
• Եռագիծ կոորդինատներ՝ հանդիսանում են միասեռ կոորդինատների օրինակիներից մեկը և ունեն իրենց հիմնական տրված եռանկյունը, այնպես որ որոշակի կետի դիրք որոշվում է այդ եռանկյան կողմերի նկատմամբ՝ նրանց հեռավորության աստճանի գլխավոր ձևով, չնայած հնարավոր են նաև ուրիշ դեպքեր։ Եռագիծ կոորդինատները կարող են լինել համեմատաբար պարզ վերափոխված բարիցենտրիկի՝ բացի այդ, նրանք փոխակերպելի են երկչափ ուղղանկյուն կոորդինատների ևս, որի համար կիրառվում են համապատասխան բանաձևեր^[11]։
• Գլանային պարաբոլային կոորդինատներ՝ կոորդինատների եռաչափ օրթոգոնալ համակարգ, որը ստացվում է կոորդինատների երկչափ պարաբոլային համակարգում տարածության վերափոխման հետևանքով։ Մակերևույթի կոորդինատներ ծառայում են համապատասխանաբար համաֆոկուս պարաբոլային գլանները։ Գլանային պարաբոլային կոորդինատները որոշակի հարաբերությամբ կապված են դեկարտյանների հետ, կարող են կիրառվել մի շարք գիտական հետազոտությունների բնագավառներում^[12]։
• Էլիպսոիդային կոորդինատներ՝ էլիպտական կոորդինատներ տարածության մեջ։ Տվյալ տեպքում մակերևույթի կոորդինատներ հանդիսանում են էլիպսոիդները, միախոռոչ հիպերբոլոիդները, ինչպես նաև երկխոռոչ հիպերբոլոիդները, որոնց կենտրոնները տեղակայված են կոորդինատների սկզբնակետում։ Համակարգը օրթոգոնալ է։ Էլիպսոիդալ հանդիսացող կետերի յուրաքանչյուր եռյակի համապատասխանում է ութ կետ, որոնք O_xyz համակարգի հարթության նկատմամբ սիմետրիկ են միմյանց^[13]։

Տե՛ս նաև՝ Կոորդինատների փոխակերպում

${\displaystyle x=r\,\cos \varphi ,}$ 

${\displaystyle y=r\,\sin \varphi ,}$ 

${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},}$ 

${\displaystyle \varphi =\operatorname {arctg} {\frac {y}{x}}+\pi u_{0}(-x)\,\operatorname {sgn} y,}$ 

որտեղ u₀-ն՝ ${\displaystyle u_{0}(0)=0}$  -ով Հևիսայդի ֆունկցիա է, իսկ sgn՝ signum ֆունկցիա։ Այստեղ u₀ և sgn ֆունկցիաները օգտագործվում են որպես «տրամաբանական» փոխակերպիչներ, ծրագրավորման լեզուներում իմաստով անալոգ օպերատորներով «եթե .. ապա» (if…else)։ Որոշ ծրագրավորման լեզուներ ունեն հատուկ atan2 (y, x) ֆունկցիան, որը վերադարձնում է ճիշտ φ-ն անհրաշեժտ կվադրանտով, x и y կոորդինատներով որոշված։

${\displaystyle x=r\,\cos \varphi ,}$ 

${\displaystyle y=r\,\sin \varphi ,}$ 

${\displaystyle z=z.\quad }$ 

${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},}$ 

${\displaystyle \varphi =\operatorname {arctg} {\frac {y}{x}}+\pi u_{0}(-x)\,\operatorname {sgn} y,}$ 

${\displaystyle z=z.\quad }$ 

${\displaystyle {\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r\cos \theta &-r\sin \varphi &0\\r\sin \theta &r\cos \varphi &0\\0&0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}dr\\d\varphi \\dz\end{pmatrix}},}$ 

${\displaystyle {\begin{pmatrix}dr\\d\varphi \\dz\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&0\\{\frac {-y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}}.}$ 

${\displaystyle {x}=\rho \,\sin \theta \,\cos \varphi ,\quad }$ 

${\displaystyle {y}=\rho \,\sin \theta \,\sin \varphi ,\quad }$ 

${\displaystyle {z}=\rho \,\cos \theta ;\quad }$ 

${\displaystyle {\rho }={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},}$ 

${\displaystyle {\theta }=\arccos {\frac {z}{\rho }}=\operatorname {arctg} {\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}},}$ 

${\displaystyle {\varphi }=\operatorname {arctg} {\frac {y}{x}}+\pi \,u_{0}(-x)\,\operatorname {sgn} y.}$ 

${\displaystyle {\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi &\rho \cos \theta \cos \varphi &-\rho \sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &\rho \cos \theta \sin \varphi &\rho \sin \theta \cos \varphi \\\cos \theta &-\rho \sin \theta &0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}d\rho \\d\theta \\d\varphi \end{pmatrix}},}$ 

${\displaystyle {\begin{pmatrix}d\rho \\d\theta \\d\varphi \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x/\rho &y/\rho &z/\rho \\{\frac {xz}{\rho ^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\frac {yz}{\rho ^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\frac {-(x^{2}+y^{2})}{\rho ^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}\\{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}}.}$ 

${\displaystyle {r}=\rho \,\sin \theta ,}$ 

${\displaystyle {\varphi }=\varphi ,\quad }$ 

${\displaystyle {z}=\rho \,\cos \theta ;}$ 

${\displaystyle {\rho }={\sqrt {r^{2}+z^{2}}},}$ 

${\displaystyle {\theta }=\operatorname {arctg} {\frac {z}{r}}+\pi \,u_{0}(-r)\,\operatorname {sgn} z,}$ 

${\displaystyle {\varphi }=\varphi .\quad }$ 

${\displaystyle {\begin{pmatrix}dr\\d\varphi \\dh\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sin \theta &\rho \cos \theta &0\\0&0&1\\\cos \theta &-\rho \sin \theta &0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}d\rho \\d\theta \\d\varphi \end{pmatrix}},}$ 

${\displaystyle {\begin{pmatrix}d\rho \\d\theta \\d\varphi \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {r}{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}&0&{\frac {z}{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}\\{\frac {-z}{r^{2}+z^{2}}}&0&{\frac {r}{r^{2}+z^{2}}}\\0&1&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}dr\\d\varphi \\dz\end{pmatrix}}.}$ 

Աշխարհագրական կոորդինատային համակարգը ապահովում է երկրագնդի մակերևույթի ցանկացած կետի նունականցումը թվատառային նշանակմամբ։ Որպես կանոն, կոորդինատները նշանակվում են այնպես, որ ցուցանիշներից մեկը նշանակում է դիրքը ուղղաձիգով, իսկ մյուսը կամ մյուսների ամբողջությունը՝ հորիզոնականով։Երկրաչափական կոորդինատների ավանդական խումբը՝ լայնություն,երկարություն և բարձրություն^[14]։ Աշխարհագրական կոորդինատային համակարգը նշված երեք ցուցանիշներով հանդիսանում է օրթոգոնալ։

Երկրի մակերևույթի կետի լայնությունը որոշվում է որպես հասարակածի և մոտավորապես Երկրի ձևի հետ համընկնող բազային էլիպսոիդի մակերևույթին այդ կետից տարված նորմալի տեսքով ուղղի միջև անկյուն։ Այդ ուղիղը սովորաբոր անցնում է Երիկրի կենտրոնից մի քանի կիլոմետրի վրա, բացառապես երկու դեպքում՝ բևեռների և հասարակածի(այդ դեպքերում այն անցնում է անմիջականորեն կենտրոնով)։ Միևնույն լայնության կետերը միացնող գծերը անվանվում են զուգահեռականներ։ 0° լայնություններին համապատասխանում են հասարակածի հարթությունները, Երկրի Հյուսիսային բևեռը համապատասխանում է 90° հյուսիսային լայնությանը, Հարավայինը՝ համապատասխանաբար 90° հարավային լայնությանը։ Իրեն հերթին, Երկրի մակերևույթի վրա կետի երկարությունը որոշվում է որպես անկյուն՝ հիմնական միջօրեականից այդ կետով անցնող դեպի ուրիշ միջօրեական,արևելյան կամ արևմտյան ուղղություններով։ Միևնույն երկարության կետեր միացնող միջօրեականները, իրենցից ներկայացնում են բևեռների վրա հատվող կիսաէլիպսներ։ Զրոյական համարվում է միջօրեականը,որն անցնում է Լոնդոնին կից Գրինվիչի թագավորական աստղադիտարանով։ Ինչ վերաբերվում է բարձրությանը, ապա այն հաշվվում է գեոիդի պայմանական մակերևույթից, որը հանդիսանում է երկրագնդի աբստրակտ տարածությայնության ներկայացումը։

• Չափականություն
• Աֆինական ձևափոխություն

• Гельфанд И. М., Глаголева Е. Г., Кириллов А. А. Метод координат.(չաշխատող հղում) Издание пятое, стереотипное. Серия։ Библиотечка физико-математической школы. Математика. Выпуск 1. М.։ Наука, 1973.
• Делоне Н. Б. (1890–1907). «Координаты, в математике». Բրոքհաուզի և Եֆրոնի հանրագիտական բառարան: 86 հատոր (82 հատոր և 4 լրացուցիչ հատորներ). Սանկտ Պետերբուրգ.{{cite book}}: CS1 սպաս․ location missing publisher (link)

• Факультативное занятие по математике на тему։ «Разные системы координат»