Ugrás a tartalomhoz

Ekvivalenciaosztály

Ellenőrzött
A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Ekvivalenciaosztálynak nevezzük egy halmaz azon részhalmazát, amelynek elemei egy megadott ekvivalenciareláció szerint ekvivalensek. Az ekvivalenciaosztályok a halmazt diszjunkt módon osztják fel.

Definíció

[szerkesztés]

Legyen halmaz, pedig ekvivalenciareláció felett. Ekkor szerinti ekvivalenciaosztálynak nevezzük a következő halmazt:

Tulajdonságok

[szerkesztés]

Diszjunkt halmazok

[szerkesztés]

Az ekvivalenciaosztályok diszjunkt halmazok:

Bizonyítás

[szerkesztés]

Indirekt módon bizonyítunk: tegyük fel, hogy van olyan elem, amely mindkét osztálynak eleme. Ekkor mindkét osztály minden eleme ekvivalens ezzel az elemmel, és az ekvivalencia definíciója alapján egymással is, tehát a két halmaz kölcsönösen részhalmaza egymásnak, azaz egyenlő.

Az ekvivalencia tranzitivitása alapján

Az ekvivalenciaosztály definíciója szerint pedig

QED

Faktorizálás

[szerkesztés]

Ha ekvivalencia a halmaz felett, akkor minden eleme benne van valamelyik ekvivalenciaosztályban. A feletti ekvivalenciaosztályok halmazát faktorhalmazának nevezzük. Jelölése: .

Jegyzetek

[szerkesztés]

További információk

[szerkesztés]

Források

[szerkesztés]
  • I. N. Bronstejn, K. A. Szemengyajev, G. Musiol, H. Mühlig: Matematika kézikönyv ISBN 963-9132-59-4