קואורדינטות גליליות פרבוליות

במתמטיקה, קואורדינטות גליליות פרבוליות היא מערכת קואורדינטות תלת־ממדית אשר מאפיינת כל נקודה על ידי מפגש שתי פרבולות ומישור המגדיר את ערך הגובה. הקואורדינטות הללו הם בעצם הכללה של קואורדינטות פרבוליות עבור המרחב האוקלידי ${\displaystyle \ \mathbb {R} ^{3}}$.

מערכת הקואורדינטות הגליליות פרבוליות (σ, τ, z) מוגדרת על פי מערכת צירים הקרטזית (x, y, z) על ידי:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\sigma \tau \\y&={\frac {1}{2}}\left(\tau ^{2}-\sigma ^{2}\right)\\z&=z\end{aligned}}}$

כאשר z הוא כמו במערכת צירים קרטזית, σ מגדיר את המקדם של הפרבולה הראשונה:

${\displaystyle 2y={\frac {x^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}}$

ו-τ מגדיר את הפרבולה השנייה:

${\displaystyle 2y=-{\frac {x^{2}}{\tau ^{2}}}+\tau ^{2}}$

מכאן אפשר להגדיר את המרחק מראשית הצירים כמו במערכת צירים קרטזית:

${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\frac {1}{2}}\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)}$

במרחק הזה משתמשים לפתרון משוואת המילטון-יעקובי עבור כוח מרכזי בקואורדינטות גליליות פרבוליות.

ניתן גם להגדיר את הקואורדינטות על פי קואורדינטות גליליות, (ρ, φ, z), בדרך הבאה:

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho \cos \varphi &=\sigma \tau \\\rho \sin \varphi &={\frac {1}{2}}\left(\tau ^{2}-\sigma ^{2}\right)\\z&=z\end{aligned}}}$

וקטורי היחידה של קואורדינטות גליליות פרבוליות, מיוצגים על ידי וקטורי יחידה של מערכת צירים קרטזית בדרך הבאה:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\hat {\sigma }}}&={\frac {\tau {\hat {\mathbf {x} }}-\sigma {\hat {\mathbf {y} }}}{\sqrt {\tau ^{2}+\sigma ^{2}}}}\\{\boldsymbol {\hat {\tau }}}&={\frac {\sigma {\hat {\mathbf {x} }}+\tau {\hat {\mathbf {y} }}}{\sqrt {\tau ^{2}+\sigma ^{2}}}}\\\mathbf {\hat {z}} &=\mathbf {\hat {z}} \end{aligned}}}$

• קואורדינטות גליליות פרבוליות, באתר MathWorld (באנגלית)