וקטור (פיזיקה)

בפיזיקה, וֶקְטוֹר הוא גודל פיזיקלי בעל כיוון במרחב האוקלידי התלת-ממדי.

דוגמאות לגדלים וקטוריים: העתק, מהירות, תאוצה וכוח. כדי לתאר את כל הגדלים האלה באופן מלא, לא מספיק לענות על השאלה "כמה", אלא נצטרך גם לענות על השאלה "לאן" או "באיזה כיוון". לדוגמה במהירות, בשביל תיאור מלא לא מספיק לומר שנסעתי במהירות 60 קמ"ש, אלא תיאור מלא של התנועה יבוטא עם ציון הכיוון, "נסעתי במהירות 60 קמ"ש צפונה", או "הטיל נע במהירות 700 קמ"ש כלפי מעלה".

סקלר, המתואר על ידי מספר יחיד, וטנזורים מסדרים גבוהים יותר הם סוגים אחרים של גדלים פיזיקליים.

לייצוגו של וקטור דרושים נתונים כמספר הממדים של המרחב שבו דנים. למשל, כדי לבטא מהירות על פני מישור יש צורך בשני נתונים, אך כדי לבטא מהירות במרחב יש צורך בשלושה נתונים. באופן גרפי וקטור מתואר כחץ במרחב.

מרחב וקטורי הוא הכללה מתמטית של וקטור פיזיקלי עם כללים פורמליים לאריתמטיקה (חשבון) של וקטורים.^{[דרוש מקור]}

וקטור הוא ישות מתמטית בעלת גודל וכיוון.

נחשוב על וקטור ההעתק, המייצג את השינוי במקום המרחבי שעשה גוף מסוים, למשל: אדם ההולך מנקודה A לנקודה B. לוקטור זה יש שני מאפיינים: גודלו – כמה רחוק הלך האדם, כלומר: מהו המרחק ב"קו אווירי" בין A ל-B, וכיוונו: האם B נמצאת צפונית ל-A (האדם הלך צפונה) או אולי מערבית ל-A (האדם הלך מערבה) או אולי בכיוון אחר (שאפשר לייצגו בזווית ביחס לציר מכוון מסוים שנקבע באופן שרירותי, למשל: אם בוחרים את הכיוון מזרח, אדם שהולך צפונה הולך בכיוון השקול לזווית של 90 מעלות כנגד כיוון השעון ביחס לציר זה [כיוון מזרח]).

באופן דומה, גם המהירות היא וקטור, שכן היא מורכבת מגודל – כמה מהר נסענו, ומכיוון – לאיזה כיוון נסענו.

אפשר לחשוב על וקטור גם כחץ היוצא מראשית הצירים ומצבי�� על נקודה כלשהי במרחב.

וקטור פיזיקלי הוא גודל במרחב האוקלידי התלת-ממדי הפיזיקלי ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$. זהו מרחב וקטורי ממשי בעל ממד 3 המצויד במכפלה סקלרית (ועל כן גם בנורמה) ובמכפלה וקטורית. הווקטור בדרך כלל מיוצג על ידי שלושה רכיבים (קואורדינטות) ואלה תלויים בבסיס שבו אנו מציגים את המרחב. למרחב זה קיים אגד וקטורי, והוא האגד הטריוויאלי ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.

יש להבדיל בין וקטור פולרי לווקטור אקסיאלי (פסאודו-וקטור), וזאת בדרך בה הם עוברים טרנספורמציית שיקוף. על כך, בהמשך.

וקטורים בדרך כלל מיוצגים באמצעות חץ מעל הווקטור,${\displaystyle \ {\vec {v}}}$, או בגופן מודגש (bold), ${\displaystyle \ {\boldsymbol {v}}}$.

גודלו של הווקטור נקרא גם הנורמה שלו ומסומן כ-${\displaystyle \ |{\vec {v}}|}$ או גם כ-${\displaystyle \ v}$ ללא סימון נוסף אם אין אפשרות להתבלבל. כוון הווקטור נקרא גם וקטור יחידה, כיוון שגודלו שווה ל-1, ומסומן כ-${\displaystyle \ {\hat {v}}}$. (הערה: הסימון לגודלו של וקטור הוא אותו סימון של ערך מוחלט, זאת כיוון שמספר ממשי הוא מקרה פרטי של וקטור בממד אחד, שגודלו הוא הערך המוחלט של המספר).

גודל של וקטור צריך לקיים את שלוש האקסיומות שמקיימת נורמה:

1. ${\displaystyle \ |{\vec {v}}|\geq 0}$, ובנוסף ${\displaystyle \ |{\vec {v}}|=0}$ אם ורק אם ${\displaystyle \ {\vec {v}}}$ הוא וקטור האפס (חיוביות)
2. עבור מספר ${\displaystyle \ a}$ כלשהו, ${\displaystyle \ |a\cdot {\vec {v}}|=|a|\cdot |{\vec {v}}|}$ (הומוגניות)
3. ${\displaystyle \ |{\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2}|\leq |{\vec {v}}_{1}|+|{\vec {v}}_{2}|}$ (אי-שוויון המשולש)

מקובל לסמן כל ממד באמצעות וקטור יחידה. היטל של הווקטור על אחד מכוונים אלה הוא הרכיב של הווקטור באותו כוון או ממד.

לדוגמה במערכת צירים קרטזית במרחב תלת־ממדי, וקטורי היחידה הם:${\displaystyle \ {\hat {x}},{\hat {y}},{\hat {z}}}$. ייצוג לפי רכיבים של הווקטור ${\displaystyle \ {\vec {v}}}$ במרחב זה מקובל בשתי דרכים:

${\displaystyle \ {\vec {v}}=v_{x}{\hat {x}}+v_{y}{\hat {y}}+v_{z}{\hat {z}}=(v_{x},v_{y},v_{z})}$.

הייצוג לפי רכיבים מקושר לגודל הווקטור באמצעות:

${\displaystyle \ |{\vec {v}}|={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}}$.

ניתן לחבר וקטורים בצורה גאומטרית או בצורה אלגברית.

בצורה הגאומטרית יש 2 דרכים שקולות:

• בשיטה המקבילית מעתיקים את זוג הווקטורים היוצאים מאותה נקודה בצורה מקבילה כך שיצרו מקבילית, וסכומם הוא אלכסון המקבילית.
• בשיטת הצלעון, עבור 2 וקטורים, מעתיקים וקטור אחד ${\displaystyle {\vec {b}}}$ כך שייצא מסוף הווקטור השני ("הקצה עם החץ") ${\displaystyle {\vec {a}}}$ וסכומם הוא הווקטור היוצא מהתחלת הווקטור ${\displaystyle {\vec {a}}}$ ומסתיים בסוף הווקטור ${\displaystyle {\vec {b}}}$ (זהו הישר המחבר בין שתי הנקודות עם כיוון כפי שהוגדר לעיל). ניתן להכליל שיטה זו ל-n וקטורים מאחר שחיבור וקטורים הוא חילופי (קומוטטיבי) וקיבוצי (אסוציאטיבי), במקרה זה יוצרים צלעון (מצולע פתוח) על ידי הצמדת כל וקטור עוקב כך שייצא מהסוף של הווקטור שקדם לו. סכומם הוא הווקטור היוצא מהתחלת הווקטור הראשון בסכום/צלעון ומסתיים בסוף הווקטור האחרון בסכום/צלעון. מקרה פרטי מעניין הוא צלעון סגור, כלומר: ראש החץ של הווקטור האחרון מסתיים בהתחלה של הווקטור הראשון, ואז הסכום שווה לווקטור האפס.

בשיטה האלגברית רושמים כל וקטור כרכיבים, ומחברים רכיב רכיב:

${\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}=(a_{x},a_{y},a_{z})+(b_{x},b_{y},b_{z})=(a_{x}+b_{x},a_{y}+b_{y},a_{z}+b_{z})}$

כפל וקטור בסקלר הוא פעולה פשוטה, באופן אלגברי

${\displaystyle \ \lambda {\vec {v}}=\lambda (v_{x},v_{y},v_{z})=(\lambda v_{x},\lambda v_{y},\lambda v_{z})}$

מבחינה גאומטרית זה שקול למתיחת הווקטור פי ${\displaystyle \lambda }$ (אם ${\displaystyle \ |\lambda |<1}$ ה"מתיחה" היא למעשה כיווץ הווקטור). אם כופלים את הווקטור בסקלר שלילי, בנוסף למתיחתו או כיווצו, כיוונו מתהפך.

ב-${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ מוגדרות עוד שתי מכפלות, שהארגומנטים שלהן הן וקטורים.

ערך מורחב – מכפלה סקלרית

מכפלה סקלרית היא מכפלה המקבלת שני וקטורים ומחזירה סקלר, כלומר: ${\displaystyle \cdot :\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }$. אפשר להגדירה בשתי גישות. בגישה האלגברית, אם ${\displaystyle {\vec {a}}=a_{1}{\hat {x}}+a_{2}{\hat {y}}+a_{3}{\hat {z}}}$ ו-${\displaystyle {\vec {b}}=b_{1}{\hat {x}}+b_{2}{\hat {y}}+b_{3}{\hat {z}}}$ אזי

${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}}$.

בגישה הגאומטרית, ההגדרה היא ${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos \theta }$ כאשר ${\displaystyle \theta }$ היא הזווית בין הווקטורים. ניתן להראות שהגדרה זו שקולה להגדרה האלגברית. מבחינה אינטואיטיבית, מכפלה סקלרית מחשב את גודל ההיטל של וקטור אחד על וקטור אחר, והיא מקרה פרטי של הטלה. דוגמה למכפלה סקלרית בפיזיקה היא הנוסחה לחישוב העבודה על גוף במהלך פעולת כוח עליו ( ${\displaystyle W=|{\vec {F}}||{\vec {\Delta x}}|\cos \theta }$ ).

ערך מורחב – מכפלה וקטורית

מכפלה וקטורית היא מכפלה המקבלת שני וקטורים ומחזירה פסאודו-וקטור, כלומר: ${\displaystyle \times :\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}}$. גם אותה ניתן להגדיר בשתי גישות: בגישה האלגברית, אם ${\displaystyle {\vec {a}}=a_{1}{\hat {x}}+a_{2}{\hat {y}}+a_{3}{\hat {z}}}$ ו- ${\displaystyle {\vec {b}}=b_{1}{\hat {x}}+b_{2}{\hat {y}}+b_{3}{\hat {z}}}$ אזי

${\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {b}}=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}){\hat {x}}+(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}){\hat {y}}+(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}){\hat {z}}}$.

בגישה הגאומטרית המכפלה מוגדרת להיות פסאודו-וקטור שגודלו הוא ${\displaystyle |{\vec {a}}||{\vec {b}}|\sin \theta }$ כאשר ${\displaystyle \theta }$ היא הזווית בין הווקטורים, וכיוונו נקבע לפי כלל יד ימין (בכל מקרה, הוא ניצב למישור הנפרש על ידי ${\displaystyle {\vec {a}}}$ ו-${\displaystyle {\vec {b}}}$). מבחינה אלגברית, כלל יד ימין מבוטא על ידי ההגדרה ${\displaystyle {\hat {x}}\times {\hat {y}}={\hat {z}}}$. גם כאן ניתן להראות שההגדרות שקולות. מבחינה גאומטרית, מכפלה וקטורית מחשבת את השטח של מקבילית שצלעותיה הן a ו-b, ומחזירה וקטור נורמלי למשטח זה, שגודלו כגודל שטח המקבילית. דוגמה למכפלה וקטורית בפיזיקה היא הנוסחה שמגדירה תנע זוויתי ${\displaystyle {\vec {L}}={\vec {r}}\times {\vec {p}}}$, והנוסחה לגודל הכוח המגנטי הפועל על חלקיק טעון הנע במהירות ${\displaystyle {\vec {v}}}$ בשדה מגנטי ${\displaystyle {\vec {B}}}$ ( ${\displaystyle {\vec {F}}_{B}=q|{\vec {v}}||{\vec {B}}|\sin \theta }$ ).

אחד השימושים הנפוצים ביותר בפיזיקה לווקטורים הוא תיאור התנועה של גוף במרחב. הווקטור הבסיסי ביותר הוא וקטור המקום, שמתאר את קואורדינטות המקום ביחס לראשית (נקודת האפס) של מערכת הצירים במערכת צירים קרטזית.

${\displaystyle \ {\vec {r}}=x{\hat {x}}+y{\hat {y}}+z{\hat {z}}=(x,y,z)}$

וקטור המהירות הוא השינוי בווקטור המקום חלקי הזמן שעבר:

${\displaystyle \ {\vec {v}}={\frac {d}{dt}}{\vec {r}}={\frac {dx}{dt}}{\hat {x}}+{\frac {dy}{dt}}{\hat {y}}+{\frac {dz}{dt}}{\hat {z}}=v_{x}{\hat {x}}+v_{y}{\hat {y}}+v_{z}{\hat {z}}}$

מאותה סיבה, גם התאוצה היא וקטור ובגלל החוק השני של ניוטון נובע שגם הכוח הוא וקטור. לכן, וקטורים משמשים לתאר שדות כוח במרחב. השדה הווקטורי הידוע ביותר הוא השדה האלקטרומגנטי ובייחוד השדה החשמלי האלקטרוסטטי שקל יחסית לתיאור מתמטי ופיזיקלי.

ערך מורחב – אנליזה וקטורית

כדי לנתח שינוי בגדלים וקטוריים מושג הנגזרת איננו מספיק, כיוון שנצטרך גם להגדיר מהו שינוי בכיוון. לצורך הניתוח הזה פותח תחום המשלב אנליזה מתמטית, אלגברה ליניארית וחשבון אינפיניטסימלי. תחום זה נקרא אנליזה וקטורית.

וקטור פולרי נבדל מוקטור אקסיאלי (נקרא גם פסאודו-וקטור) בהתנהגות תחת טרנספורמציית שיקוף.

וקטור אקסיאלי, או פסאודו-וקטור, הוא וקטור שזוכה ל"היפוך סימן" ביחס לווקטור הפולרי כאשר הוא עובר טרנספורמציית שיקוף.

מנקודת מבט מתמטית ניתן להגדיר וקטור אקסיאלי במרחב וקטורי ${\displaystyle V}$ בתור איבר במכפלה הטנזורית ${\displaystyle V\otimes \operatorname {Orient} (V)}$ כאשר ${\displaystyle \operatorname {Orient} (V)}$ הוא ישר האוריינטציות על ${\displaystyle V}$

ניקח גליל שמסתובב סביב צירו נגד כיוון השעון ושציר הסימטריה שלו מתלכד עם ציר z. אנו טוענים כי המהירות הזוויתית של נקודה על הגליל היא פסאודו-וקטור. נשקף את הגליל במראה המשקפת את ציר x. ניתן לתרגם פעולה זו לנוסחה הבאה:

${\displaystyle \!\,x\mapsto -x\,\ y\mapsto y\,\ z\mapsto z\ }$

אם ברגע מסוים, מצב המהירות והמיקום של פס אדום על שפת הגליל ישתנה, ובמערכת המשוקפת רק המיקום של הפס ישתנה, הטרנפורמציה למערכת המקורית תהיה:

${\displaystyle \!\,{\vec {r}}=r{\hat {x}}\,\ {\vec {v}}=v{\hat {y}}}$

כיוון המהירות הזוויתית, שהיה במערכת המקורית בכיוון ציר z, יהיה במערכת המשוקפת בכיוון השלילי של ציר z: ${\displaystyle \ \omega =\omega {\hat {z}}}$.

מסקנה זו ניתן להסביר גם באופן אינטואיטיבי: אם נסובב גליל כנגד כיוון השעון, כשנסתכל במראה נראה שהגליל מסתובב עם כיוון השעון שהוא הכיוון ההפוך מהכיוון בו אנו באמת מסובבים את הגליל.

ההגדרה של וקטור המהירות הזוויתית היא:

${\displaystyle \!\,{\vec {v}}={\vec {\omega }}\times {\vec {r}}}$

וקטור המהירות הזוויתית, שלא היה אמור להשתנות בהשפעת טרנספורמציית השיקוף מפני שהוא בכיוון z והטרנספורמציה לא משנה וקטור בכיוון זה, עבר שינוי סימן נוסף.

שינוי הסימן הנוסף היא תכונה המאפיינת את הפסאודו-וקטורים. גדלים רבים בפיזיקה הם פסאודו-וקטורים. כמעט כולם הם גדלים שמוגדרים באמצעות מכפלה וקטורית, כגון תנע זוויתי או שדה מגנטי. למעשה, הפסאודו-וקטור הנפוץ והיומיומי ביותר הוא הכיוונים ימין ושמאל שאנו משתמשים בהם באופן קבוע. מאחר שהימין מוגדר ביחס לשני וקטורים אחרים, ברגע שאחד מהם עובר שיקוף המתבטא בהיפוך כיוון ובשינוי סימן, גם הווקטור השני משנה את סימנו - אף על פי שהוא לא משוקף באופן ישיר.

במכניקת הקוונטים, בה גדלים פיזיקליים מיוצגים על ידי אופרטורים הרמיטיים, שלשת אופרטורים ${\displaystyle {\vec {V}}=(V_{x},V_{y},V_{z})}$ תקרא אופרטור וקטורי אם מתקיימים יחסי החילוף הבאים בינה ובין אופרטורי התנע הזוויתי ${\displaystyle \ J_{i}}$: $${\displaystyle [J_{i},V_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}V_{k}}$$

• אנליזה וקטורית
• טנזור
• ימין ושמאל (כיוונים במרחב)
• 4-וקטור

• ארז גרטי, חיבור וקטורים, באתר של מכון דוידסון לחינוך מדעי, 5 נובמבר 2011
• סרטון על הגדרת הווקטורים באתר YouTube