פונקציית בוכשטאב

פונקציית בוכשטאב היא הפונקציה הרציפה היחידה ${\displaystyle \omega :\mathbb {R} _{\geq 1}\rightarrow \mathbb {R} _{>0}}$, שמוגדרת על ידי משוואת שיהוי דיפרנציאלית:

${\displaystyle \omega (u)={\frac {1}{u}},\qquad \qquad \qquad 1\leq u\leq 2,}$

${\displaystyle {\frac {d}{du}}(u\omega (u))=\omega (u-1),\qquad u\geq 2.}$ . יש להשתמש בנגזרת שבנקודה u = 2, כאשר u שואפת ל-2 מימין.

הפונקציה נקראת על שמו של המתמטיקאי הרוסי אלכסנדר בוכשטאב (Александр Адольфович Бухштаб,‏ 1905–1990), שכתב עליה בשנת 1937.

אם ${\displaystyle \gamma }$ מסמן את קבוע אוילר-מסקרוני, אז מתברר כי פונקציית בוכשטאב מתקרבת במהירות אל ${\displaystyle e^{-\gamma }}$ כאשר ${\displaystyle u\to \infty }$ . למעשה, ${\displaystyle |\omega (u)-e^{-\gamma }|\leq {\frac {\rho (u-1)}{u}},\qquad u\geq 1,}$, כאשר ρ היא פונקציית דיקמן (Dickman)^[1]. כמו כן, הערך ${\displaystyle \omega (u)-e^{-\gamma }}$ מתנודד באופן רגיל, לסירוגין - בין נקודות הקיצון - לבין האפסים; נקודות הקיצון מתחלפות בין נקודות מקסימום חיוביות לבין נקודות מינימום שליליות. המרווח שבין נקודות קיצון עוקבות שואף ל-1 כאשר u שואף לאינסוף, וכך גם המרווח בין אפסים עוקבים^[2].

פונקציית בוכשטאב משמשת למניית מספרים מחוספסים: אם Φ(x, y) הוא מספר המספרים השלמים החיוביים שקטנים או ששווים ל-x ללא גורם ראשוני שקטן מ-y, אז לכל u > 1 קבוע, מתקיים: ${\displaystyle \Phi (x,x^{1/u})\sim \omega (u){\frac {x}{\log x^{1/u}}},\qquad x\to \infty }$

• פונקציית בוכשטאב, באתר MathWorld (באנגלית)

ערך זה הוא יתום, כלומר אין ערכים בוויקיפדיה שמקשרים אליו. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולקשר אליו מכמה מהערכים שמכילים את המונח "פונקציית בוכשטאב".