פולינום הומוגני

במתמטיקה, ובפרט באלגברה, פולינום הומוגני הוא פולינום שהוא גם פונקציה הומוגנית^[1].

לפולינומים מסוג זה חשיבות רבה, במיוחד בתחום של גאומטריה אלגברית, זאת מכיוון שהם משמשים לתיאור יריעות אלגבריות פרויקטיביות באמצעות קואורדינטות הומוגניות.

בהינתן חוג חילופי ${\displaystyle R}$, מספרים טבעיים ${\displaystyle n,m,d\in \mathbb {N} }$ ופולינום ${\displaystyle f\in R[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ מהצורה

${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{m}{a_{i}x_{1}^{d_{i1}}x_{2}^{d_{i2}}\cdots x_{n}^{d_{in}}}}$

${\displaystyle f}$ ייקרא פולינום הומוגני מדרגה^[2] ${\displaystyle d}$ אם ורק אם הוא מקיים את אחד התנאים השקולים הבאים:

1. ${\displaystyle f}$ היא פונקציה הומוגנית מדרגה ${\displaystyle d}$. כלומר, לכל ${\displaystyle t,x_{1},\dots ,x_{n}\in R}$ מתקיים ש-${\displaystyle f(tx_{1},\dots ,tx_{n})=t^{d}f(x_{1},\dots ,x_{n})}$.
2. לכל ${\displaystyle 1\leq i\leq m}$ מתקיים ש-${\displaystyle d_{i1}+\dots +d_{in}=d}$. כלומר, הדרגה של כל מונום מאיברי הפולינום היא ${\displaystyle d}$^[3].

ניתן לראות מהתנאי השני שכל פולינום הומוגני מדרגה ${\displaystyle d}$, הדרגה שלו עצמו היא בהכרח ${\displaystyle d}$ במובן של דרגת פולינום.

לעיתים פולינומים הומוגניים נקראים גם תבנית פולינומית.

הפולינום ${\displaystyle p(x,y,z)=xy+yz+xz}$ הוא פולינום הומוגני מדרגה 2 שכן:

${\displaystyle p(\lambda x,\lambda y,\lambda z)=\lambda ^{2}xy+\lambda ^{2}yz+\lambda ^{2}xz=\lambda ^{2}\cdot (xy+yz+xz)=\lambda ^{2}p(x,y,z)}$.

נסתכל על הפולינום ${\displaystyle p(x_{1},x_{2},x_{3})=42x_{1}^{3}+11x_{2}^{2}x_{3}}$. זהו פולינום הומוגני מדרגה 3 שכן:

${\displaystyle p(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\lambda x_{3})=42(\lambda x_{1})^{3}+11(\lambda x_{2})^{2}\lambda x_{3}=\lambda ^{3}42x_{1}^{3}+\lambda ^{3}11x_{2}^{2}x_{3}=\lambda ^{3}\cdot (42x_{1}^{3}+11x_{2}^{2}x_{3})=\lambda ^{3}p(x_{1},x_{2},x_{3})}$.

הפולינום ${\displaystyle p(x,y)=7x^{2}y+3}$ הוא לא פולינום הומוגני, זאת מכיוון שישנו איבר חופשי בפולינום שלא מאפשר יחסיות בין ${\displaystyle \lambda }$ לבין ערך הפולינום.

1. כל פונקציה קבועה היא פולינום הומוגני מדרגה 0.
2. כל מונום הוא פולינום הומוגני.
3. אם דרגת פולינום הומוגני ${\displaystyle d}$ היא זוגית, הפולינום הוא פונקציה זוגית. מנגד, אם ${\displaystyle d}$ אי-זוגי, הפולינום הוא פונקציה אי-זוגית.
4. סכום פולינומים הומוגניים מדרגה ${\displaystyle d}$ הוא פולינום הומוגני מדרגה ${\displaystyle d}$.
5. מכפלת פולינום הומוגני מדרגה ${\displaystyle d}$ בסקלר היא פולינום הומוגני מדרגה ${\displaystyle d}$.
6. מתוך שתי התכונות הקודמות עולה כי אוסף הפולינומים ההומוגנים ב-${\displaystyle n}$ משתנים מעל חוג ${\displaystyle R}$ מדרגה ${\displaystyle d}$ מהווה מרחב וקטורי מעל ${\displaystyle R}$. מסמנים מרחב וקטורי זה ב-${\displaystyle R_{H}^{d}[x_{1},\dots ,x_{n}]}$.
7. אם ${\displaystyle f_{1},f_{2}}$ הם פולינומים הומוגניים ב-${\displaystyle n}$ משתנים מעל חוג ${\displaystyle R}$ מדרגות ${\displaystyle d_{1},d_{2}}$ בהתאמה, הפולינום ${\displaystyle f_{1}\cdot f_{2}}$ הוא פולינום הומוגני מדרגה ${\displaystyle d_{1}+d_{2}}$. על כן, אפשר להגדיר את החוג ${\displaystyle R_{H}[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ להיות חוג כל הפולינומים ההומוגניים מעל ${\displaystyle R}$ ב-${\displaystyle n}$ משתנים (מכל דרגה שהיא).
8. אם ${\displaystyle f}$ פולינום הומוגני מעל ${\displaystyle R}$ ופולינום ${\displaystyle g}$ מחלק את ${\displaystyle f}$, אז בהכרח ${\displaystyle g}$ פולינום הומוגני.

בהינתן שדה ${\displaystyle R}$ וזוג מספרים טבעיים ${\displaystyle n,d\in \mathbb {N} }$, מסמנים את מרחב הפולינומים ב-${\displaystyle n}$ משתנים מעל ${\displaystyle R}$ ומדרגה ${\displaystyle d}$ בתור ${\displaystyle R^{d}[x_{1},\dots ,x_{n}]}$. זהו מרחב וקטורי מעל ${\displaystyle R}$.

באופן דומה מסמנים את מרחב הפולינומים ההומוגניים ב-${\displaystyle n}$ משתנים מעל ${\displaystyle R}$ ומדרגה ${\displaystyle d}$ בתור ${\displaystyle R_{H}^{d}[x_{1},\dots ,x_{n}]}$. זהו גם מרחב וקטורי מעל ${\displaystyle R}$.

ניתן להוכיח שהמרחבים ${\displaystyle R^{d}[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ ו-${\displaystyle R_{H}^{d}[x_{1},\dots ,x_{n},x_{n+1}]}$ הם מרחבים איזומורפיים. כלומר, כל פולינום כללי ניתן להמיר לפולינום הומוגני על-ידי הוספת משתנה אחד.

איזומורפיזם זה ${\displaystyle \varphi \colon R^{d}[x_{1},\dots ,x_{n}]\to R_{H}^{d}[x_{1},\dots ,x_{n},x_{n+1}]}$ הוא כך שלכל ${\displaystyle f\in R^{d}[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ ולכל ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n},x_{n+1}\in R}$:

${\displaystyle (\varphi (f))(x_{1},\dots ,x_{n},x_{n+1}):=x_{n+1}^{d}f\left({\frac {x_{1}}{x_{n+1}}},\dots ,{\frac {x_{n}}{x_{n+1}}}\right)}$

${\displaystyle \varphi (f)}$ היא בהכרח פולינום מכיוון שכל ה-${\displaystyle x_{n+1}}$ שבמכנה מצטמצמים עם ה-${\displaystyle x_{n+1}^{d}}$ שמוכפל בפולינום כולו. בנוסף, ניתן לראות כי לכל ${\displaystyle t\in R}$ מתקיים ש:

${\displaystyle {\begin{aligned}(\varphi (f))(tx_{1},\dots ,tx_{n},tx_{n+1})&=\left(tx_{n+1}\right)^{d}f\left({\frac {tx_{1}}{tx_{n+1}}},\dots ,{\frac {tx_{n}}{tx_{n+1}}}\right)\\&=t^{d}x_{n+1}^{d}f\left({\frac {x_{1}}{x_{n+1}}},\dots ,{\frac {x_{n}}{x_{n+1}}}\right)\\&=t^{d}(\varphi (f))(x_{1},\dots ,x_{n},x_{n+1})\end{aligned}}}$

משמע, ${\displaystyle \varphi (f)}$ הוא אכן פולינום הומוגני מדרגה ${\displaystyle d}$, כנדרש.

ניתן לשחזר את הפונקציה המקורית ${\displaystyle f}$ מתוך ${\displaystyle \varphi (f)}$ על ידי הצבת ${\displaystyle x_{n+1}=1}$:

${\displaystyle (\varphi (f))(x_{1},\dots ,x_{n},1)=1^{d}f\left({\frac {x_{1}}{1}},\dots ,{\frac {x_{n}}{1}}\right)=f(x_{1},\dots ,x_{n})}$.

בהינתן הפולינום הכללי:

${\displaystyle f(x,y,z)=5x^{5}y^{2}+12xz^{3}+3}$

זהו פולינום לא הומוגני מדרגה 7. ניתן להשתמש ב-${\displaystyle \varphi }$ כדי ליצור פולינום חדש ${\displaystyle g:=\varphi (f)}$. הפולינום ${\displaystyle g}$ הוא פולינום הומוגני מדרגה 7 ב-4 משתנים, ונוסחתו המפורשת היא:

${\displaystyle {\begin{aligned}g(x,y,z,t)=(\varphi (f))(x,y,z,t)\\=t^{7}f\left({\frac {x}{t}},{\frac {y}{t}},{\frac {z}{t}}\right)\\=t^{7}\left(5\left({\frac {x}{t}}\right)^{5}\left({\frac {y}{t}}\right)^{2}+12\left({\frac {x}{t}}\right)\left({\frac {z}{t}}\right)^{3}+3\right)\\=5x^{5}y^{2}+12xz^{3}t^{3}+3t^{7}\end{aligned}}}$

ניתן לראות כי זהו פולינום הומוגני מדרגה 7 מכיוון וסכום החזקות בכל מונום הוא 7.

ערך מורחב – יריעה אלגברית פרויקטיבית

בהינתן שדה ${\displaystyle R}$, זוג מספרים טבעיים ${\displaystyle n,d\in \mathbb {N} }$ ופולינום הומוגני ${\displaystyle f}$ מעל ${\displaystyle R}$ ב-${\displaystyle n}$ משתנים ומדרגה ${\displaystyle d}$, ניתן לשים לב כי לכל ${\displaystyle \lambda ,x_{1},\dots ,x_{n}\in R}$ מתקיים ש:

${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})=0\iff f(\lambda x_{1},\dots ,\lambda x_{n})=0}$

בהינתן מרחב פרויקטיבי ${\displaystyle P}$ מממד ${\displaystyle n-1}$, הקואורדינטות ההומוגניות ${\displaystyle [x_{1}:\dots :x_{n}]}$ מייצגות את אותה הנקודה כמו ${\displaystyle [\lambda x_{1}:\dots :\lambda x_{n}]}$. כלומר, במרחב זה התאפסות הפולינום ${\displaystyle f}$ בנקודה מסוימת לא תלויה בבחירת הנציג עבור הקואורדינטות ההומוגניות שלה, זאת על אף שהערך של ${\displaystyle f}$ בנקודות אחרות עלול להיות תלוי בבחירה בנציג.

עבור קבוצה ${\displaystyle S\subseteq R_{H}[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ מסמנים: ${\displaystyle {\mathcal {V}}(S):=\left\{(x_{1},\dots ,x_{n})\in R^{n}\mid \forall f\in S,f(x_{1},\dots ,x_{n})=0\right\}}$. קבוצת הנקודות שהקואורדינטות ההומגניות שלהן מהוות קבוצה מהצורה ${\displaystyle {\mathcal {V}}(S)}$ נקראת יריעה אלגברית פרויקטיבית. יריעות אלו נחקרות במסגרת הגאומטריה האלגברית, ובפרט גאומטריה פרויקטיבית.

לדוגמה, במרחב הפרויקטיבי ה-${\displaystyle n}$ ממדי, ספירה היא יריעה פרויקטיבית הבנויה מכל הנקודות שהקואורדינטות ההומוגניות שלהן מאפסות את הפולינום ההומוגני ${\displaystyle x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}-x_{n+1}^{2}}$.

כל מרחב אפיני ניתן להמיר למרחב פרויקטיבי באמצעות הוספת על-מישור באינסוף. כאשר מבצעים את מעבר זה, כל יריעה אפינית הופכת ליריעה פרויקטיבית על-ידי המרת כל פולינום כללי לפולינום הומוגני באמצעות הפונקציה ${\displaystyle \varphi }$ שהוגדרה לעיל. כלומר, היריעה האפינית ${\displaystyle {\mathcal {V}}(S)}$ במרחב האפיני הופכת ליריעה הפרויקטיבית ${\displaystyle {\mathcal {V}}(\varphi (S))}$ במרחב הפרויקטיבי.

• פונקציה הומוגנית
• קואורדינטות הומוגניות

• פולינום הומוגני, באתר MathWorld (באנגלית)