עצמאות אקסיומה
אקסיומה P היא עצמאית אם אין אקסיומות Q אחרות כך ש-Q גורר את P.
במקרים רבים יש מטרה בעצמאות, או כדי להגיע למסקנה של קבוצה מצומצמת של אקסיומות, או כדי להיות מסוגל להחליף אקסיומה עצמאית כדי ליצור מערכת תמציתית יותר (לדוגמה, אקסיומת המקבילים אינה תלויה באקסיומות אחרות של הגאומטריה האוקלידית, ומספקת תוצאות מעניינות כאשר היא נשללת או מוחלפת).
הוכחת עצמאות
[עריכת קוד מקור | עריכה]אם האקסיומות Q המקוריות אינן עקביות, אז אין אקסיומה חדשה עצמאית. אם הן עקביות, אז ניתן להראות ש-P לא תלויה בהם אם כאשר מוסיפים להם את P, או כאשר מוסיפים להם את השלילה של P, שניהם מניבים קבוצות עקביות של אקסיומות. [1] לדוגמה, האקסיומות של אוקלידס הכוללות את אקסיומת המקבילים מניבות גאומטריה אוקלידית, וכאשר אקסיומת המקבילים נשללת, מקבלים גאומטריה לא אוקלידית. לדוגמה, גאומטריה אליפטית (ללא מקבילים) וגאומטריה היפרבולית (מקבילים רבים). הן הגאומטריה האליפטית והן הגאומטריה ההיפרבולית הן מערכות עקביות, המראה כי אקסיומת המקבילים אינה תלויה באקסיומות האחרות. [2]
הוכחת עצמאות היא לרוב קשה מאוד. כפייה היא טכניקה אחת נפוצה. [3]
קישורים חיצוניים
[עריכת קוד מקור | עריכה]- Axiom independence, באתר PhilPapers
הערות שוליים
[עריכת קוד מקור | עריכה]- ^ Kenneth Kunen, Set Theory: An Introduction to Independence Proofs, page xi.
- ^ Harold Scott Macdonald Coxeter Non-Euclidean Geometry, pages 1-15
- ^ Kenneth Kunen, Set Theory: An Introduction to Independence Proofs, pages 184-237