משווה (מתמטיקה)

במתמטיקה, משווה הוא קבוצה בה שתי פונקציות (או יותר) מקבלות ערכים שווים. משווה הוא קבוצת הפתרונות של משוואה.

נניח כי ${\displaystyle X}$ ו-${\displaystyle Y}$ הן שתי קבוצות, וכי ${\displaystyle f}$ ו-${\displaystyle g}$ הן שתי פונקציות מ-${\displaystyle X}$ ל-${\displaystyle Y}$. המשווה של ${\displaystyle f}$ ו-${\displaystyle g}$ מוגדר להיות קבוצת כל האיברים ${\displaystyle x}$ בהן ${\displaystyle f}$ שווה ל-${\displaystyle g}$. באופן מפורש:

${\displaystyle \mathrm {Eq} (f,g):=\{x\in X\mid f(x)=g(x)\}}$.

בדרך זו ניתן להגדיר משווה לכל זוג פונקציות מ-${\displaystyle X}$ ל-${\displaystyle Y}$. למעשה, אין צורך להגביל את ההגדרה לזוג פונקציות, או אף למספר סופי של פונקציות. באופן יותר כללי, אם ${\displaystyle F}$ היא קבוצה של פונקציות מ-${\displaystyle X}$ ל-${\displaystyle Y}$, אז המשווה של איברי ${\displaystyle F}$ הוא קבוצת כל האיברים בהם כל הפונקציות ב-${\displaystyle F}$ שוות. באופן פורמלי:

${\displaystyle \mathrm {Eq} ({\mathcal {F}}):=\{x\in X\mid \forall {f}{\in }{\mathcal {F}}\;\forall {g}{\in }{\mathcal {F}}\;f(x)=g(x)\}}$.

כמקרה טריוויאלי, אם ${\displaystyle F}$ מכילה פונקציה בודדת ${\displaystyle f}$, מאחר שלכל ${\displaystyle x}$ ב-${\displaystyle X}$ מתקיים ${\displaystyle f(x)=f(x)}$ הרי ש-${\displaystyle Eq({\mathcal {F}})=X}$.

משווים ניתנים להגדרה באמצעות תכונה אוניברסלית, המאפשרת להכלילם מהקטגוריה של קבוצות לקטגוריה כלשהי.

בהקשר כללי זה, אם ${\displaystyle X}$ ו-${\displaystyle Y}$ הם שני אובייקטים ו-${\displaystyle f}$ ו-${\displaystyle g}$ הם שני מורפיזמים מ-${\displaystyle X}$ ל-${\displaystyle Y}$, המשווה של ${\displaystyle f}$ ו-${\displaystyle g}$ הוא אובייקט ${\displaystyle E}$ ומורפיזם ${\displaystyle \,eq:E\rightarrow X}$ כך ש ${\displaystyle \,f\circ eq=g\circ eq}$ וכך שבהינתן אובייקט ${\displaystyle O}$ ומורפיזם ${\displaystyle \,m:O\rightarrow X}$, אם ${\displaystyle \,f\circ m=g\circ m}$ אז קיים מורפיזם יחיד ${\displaystyle \,u:O\rightarrow E}$ כך ש ${\displaystyle \,eq\circ u=m}$, כך שמתקבלת דיאגרמה קומוטטיבית:

מדיה וקבצים בנושא משווה בוויקישיתוף

• משווה, באתר MathWorld (באנגלית)