מערכת האקסיומות של הילברט

מערכת האקסיומות של הילברט היא מערכת בת 20 אקסיומות שהציע דויד הילברט ב-1899, כבסיס תאורטי לגאומטריה האוקלידית.

האקסיומות, המחליפות את חמש האקסיומות וחמש ההנחות שקבע אוקלידס בספרו "יסודות", פטורות מאי-הדיוקים שנמצאו בהן. הילברט הֶחְֶיָה את המסורת שקבע אוקלידס, ופתח מאה שבה נארגו לתוך יסודות המתמטיקה מערכות פורמליות של אקסיומות כמעט בכל תחום. עם זאת, המערכת של הילברט אינה נטולת חסרונות, וזו של טרסקי עדיפה עליה, בהיותה מנוסחת במסגרת שפה מסדר ראשון.

עבודתו של הילברט מבוססת על עבודתם של אחרים שתרמו לביסוס האקסיומטי של הגאומטריה, ובראשם: מוריץ פש, מריו פיירי, אוסוולד ובלן, אדוארד ורמיל האנטינגטון, גילברט רובינסון והנרי ג'ורג' פורדר.

האקסיומות מתייחסות לשלושה סוגי אובייקטים, שאינם מוגדרים:

• "נקודה" – אובייקט שאפשר לראות בו נקודה גאומטרית
• "ישר" – אובייקט שאפשר לראות בו קו ישר
• "מישור" – אובייקט שאפשר לראות בו מישור גאומטרי

וכן לשלושה יחסים שאינם מוגדרים:

• היות-בֵּין (יחס טרנרי בין שלשות של נקודות),
• חילה (שלושה יחסים בינאריים, שאחד מהם קושר נקודות וישרים, השני - ישרים ומישורים, והשלישי - נקודות ומישורים),
• חפיפה (שני יחסים בינאריים, שאחד מהם קושר קטעים, השני - זוויות). חפיפה מסומנת ב${\displaystyle \cong }$.

ניתן לספור זאת כשישה יחסים, אך הילברט עצמו לא עשה זאת. ניתן גם להגדיר יחס חפיפה שלישי על משולשים, אך הוא מוגדר בעזרת יחסי החפיפה האחרים ואינו אובייקט יסודי.

לעניין יחס החפיפה ולנוסח האקסיומות, "קטע" מוגדר כאוסף (קבוצת) של הנקודות על קו ישר L, הנמצאות בין זוג נקודות a,b שעל הישר; "זווית" היא זוג סדור של קרניים הנפגשות בנקודה; ו"משולש" הוא שלשה סדורה של נקודות.

לשם נוחות הקריאה, נעשה שימוש במושגים נרדפים ל-"הנקודה a חלה בישר L", כגון "הישר L עובר דרך הנקודה a" או "הישר L כולל את הנקודה a"; וכן לגבי ישרים ומישורים, ונקודות ומישורים.

I.1. לכל שתי נקודות, קיים ישר העובר דרך שתיהן.

I.2. לכל שתי נקודות שונות, יש לכל היותר ישר אחד העובר דרך שתיהן.

I.3. כל ישר כולל לפחות שתי נקודות, ולכל ישר יש נקודה מחוץ לו.

I.4. לכל שלוש נקודות, יש מישור העובר דרך כולן. כל מישור כולל נקודה אחת לפחות.

I.5. לכל שלוש נקודות שאינן על ישר אחד, יש רק מישור אחד העובר דרך כולן.

I.6. אם שתי נקודות a ו-b שייכות לישר L ולמישור A, אז A כולל כל נקודה של L.

I.7. אם המישורים A ו-B כוללים נקודה a, אז הם כוללים לפחות עוד נקודה אחת.

I.8. יש לפחות ארבע נקודות שאינן שייכות לאותו מישור.

II.1. אם הנקודה b נמצאת בין הנקודות a ו-c, אז היא נמצאת גם בין הנקודות c ו-a, ושלוש הנקודות מונחות על אותו ישר.

II.2. לכל שתי נקודות שונות a ו-c, קיימת נקודה b הנמצאת בין a ו-c (קבוצה סדורה צפופה).

II.3. לכל שלוש נקודות על אותו ישר, בדיוק אחת מהן נמצאת בין שתי האחרות.

II.4 לכל שלוש נקודות a,b,c שאינן על ישר אחד, ולכל ישר L המוכל במישור הכולל אותן ושאינו עובר דרך אף אחת מן הנקודות, מתקיים כי: אם L כולל נקודה של הקטע ab, אז L כולל גם נקודה של הקטע ac או של הקטע bc (אקסיומת פש).

III.1 (הקצאת קטע על ישר). לכל שתי שונות נקודות a ו-b, ונקודה c על ישר L, יש בדיוק שתי נקודות, d ו-e, על L, כך ש-c נמצאת בין d ו-e, והקטעים ab, cd ו-ce חופפים זה לזה.

III.2 (חפיפת הקטעים היא טרנזיטיבית). אם ${\displaystyle ab\cong cd}$ וגם ${\displaystyle ab\cong ef}$, אז ${\displaystyle cd\cong ef}$.

III.3 (אדיטיביות של חפיפת קטעים). נניח שהקטעים ab ו-bc מונחים על הישר L באופן שהנקודה המשותפת היחידה להם היא b; וכן שהקטעים de ו-ef מונחים על הישר M באופן שהנקודה המשותפת היחידה להם היא e. אם ${\displaystyle ab\cong de}$ ו-${\displaystyle bc\cong ef}$, אז ${\displaystyle ac\cong df}$.

III.4 (הקצאת זווית על קרן). לכל זווית abc וקרן de, קיימות בדיוק שתי קרניים dx ו-dy, כך ש${\displaystyle \angle xde\cong \angle abc}$ וגם ${\displaystyle \angle yde\cong \angle abc}$.

III.5 (חפיפת משולשים לפי "צלע-זווית-צלע"). לכל משולשים abc ו-xyz, אם הקטעים ${\displaystyle ab\cong xy}$, וגם ${\displaystyle ac\cong xz}$, וגם ${\displaystyle \angle bac\cong \angle yxz}$, אז ${\displaystyle \angle abc\cong \angle xyz}$.

IV.1. לכל ישר L ונקודה a שמחוץ לו, ומישור הכולל את a ואת L, קיים לכל היותר ישר אחד במישור הכולל את a ואינו כולל אף נקודה של L (אקסיומת המקבילים).

V.1 לכל קטע cd וקרן ab, קיים מספר טבעי n ונקודות ${\displaystyle \ a_{1},\dots ,a_{n}}$ שעל הקרן, כך שהקטעים ${\displaystyle \ a_{j}a_{j+1}}$ כולם חופפים ל-cd, וכך ש-b נמצאת בין a ו-${\displaystyle \ a_{n}}$ (תכונת ארכימדס).

V.2 כל הוספה של נקודות לישר, מפירה (סותרת) לפחות אחת מחמש האקסיומות: I, II, III.1, III.2, V.1 ("שלמות הישרים").

מערכת האקסיומות שהוצגה לעיל מתארת את גאומטריית המרחב; דהיינו, הגאומטריה של המרחב האוקלידי התלת-ממדי. אם מסירים את חמש האקסיומות I.4-8 העוסקות במישורים שונים, ומסירים את האזכור למישור מאקסיומה IV.1, מתקבל תיאור אקסיומטי של גאומטריית המישור האוקלידית.

במקור, הילברט כלל אקסיומה נוספת – "לכל ארבע נקודות על ישר, ניתן לבחור את השמות a,b,c,d כך ש-b בין a ו-c, וגם בין a ו-d; וכן c בין a ו-d ובין b ו-d"; אולם E.H.Moore הראה (ב-1902) שניתן להסיק אקסיומה זו כמשפט משאר המערכת.

האקסיומות של הילברט אינן מהוות תורה מסדר ראשון, משום שהאקסיומות בקבוצה V לא ניתנות לתיאור במסגרת של שפה מסדר ראשון. משום כך, חשיבותה העיקרית של המערכת היא מתודולוגית, בתרומתה לתוכנית הילברט לבסס את כל המתמטיקה על תורת הקבוצות (האקסיומטית).

גאומטריה המניחה את כל האקסיומות של הילברט, למעט אקסיומת המקבילים, נקראת גאומטריה אבסולוטית.

גאומטריה המניחה את אקסיומות השייכות והסדר נקראת גאומטריית הסדר.

• David Hilbert, The Foundations of Geometry, 1950 (Reprint Edition) (ספרו של הילברט "יסודות הגאומטריה", בתרגום לאנגלית)

• מערכת האקסיומות של הילברט, באתר MathWorld (באנגלית)