מכפלה חופשית

בתורת החבורות, המכפלה החופשית (Free product) של שתי חבורות היא החבורה הכללית ביותר בה משוכנות שתי החבורות, ונוצרת על ידי תמונות איבריהן. המכפלה החופשית היא בעלת תכונה אוניברסלית, כפי שיתואר בהמשך. מושג המכפלה החופשית הופיע לראשונה אצל פליקס קליין ב-1883.

יש לה הצגה טבעית בעזרת יוצרים ויחסים, אשר עוזרות בפועל לחשב את המכפלה החופשית.

יהיו ${\displaystyle G,H}$ שתי חבורות. נרצה להציג חבורה (יחידה) ${\displaystyle U}$, עם הומומורפיזמים ${\displaystyle i:G\to U,j:H\to U}$ כך שלכל חבורה ${\displaystyle K}$ ולכל שני הומומורפיזמים ${\displaystyle \phi :G\to K,\psi :H\to K}$ קיים ויחיד הומומורפיזם ${\displaystyle L:U\to K}$ כך ש-${\displaystyle L\circ i=\phi ,L\circ j=\psi }$. כלומר, רוצים שהדיאגרמה הבאה תתחלף:

במילים אחרות, רוצים למצוא אובייקט אוניברסלי, הכולל חבורה ושתי העתקות ${\displaystyle i,j,U}$ עבור הבעיה האוניברסלית הנ"ל. מציאת אובייקט כזה פירושה שההעתקות מ-${\displaystyle G,H}$ לחבורה נוספת נקבעות על ידי האובייקט האוניברסלי. מתכונות של אובקייטים אוניברסליים, נובע שאם נמצא אחד כזה, הוא יהיה יחיד עד כדי איזומורפיזם (כלומר, החבורה תהיה יחידה עד כדי איזומורפיזם והמפות יהיו מתואמות עם האיזומורפיזם של החבורות).

נביט בקבוצת הסדרות מאיברי ${\displaystyle G,H}$ ועליה נגדיר יחס שקילות - ניקח את יחס השקילות המינימלי המקיים את ארבעת התנאים:

• ${\displaystyle \forall g_{1},g_{2}\in G:(...,g_{1},g_{2},...)=(...,g_{1}g_{2},...)}$ - קיבוץ איברים מ-${\displaystyle G}$.
• ${\displaystyle (...,a,1_{G},b,...)=(...,a,b,...)}$ - ביטול איבר היחידה מ-${\displaystyle G}$.
• ${\displaystyle \forall h_{1},h_{2}\in H:(...,h_{1},h_{2},...)=(...,h_{1}h_{2},...)}$ - קיבוץ איברים מ-${\displaystyle H}$.
• ${\displaystyle (...,a,1_{H},b,...)=(...,a,b,...)}$ - ביטול איבר היחידה מ-${\displaystyle H}$.

את קבוצת מחלקות השקילות המתקבלת נסמן על ידי ${\displaystyle G*H}$, ועליה נגדיר את פעולת שרשור המילים. איבר היחידה הוא המילה הריקה.

בדיקות ישירות מראות כי מבנה זה על ${\displaystyle G*H}$ מוגדר היטב ומהווה חבורה, הנקראת המכפלה החופשית של ${\displaystyle G}$ ו-${\displaystyle H}$.

ההעתקות ${\displaystyle i:G\to U,j:H\to U}$ מוגדרות על ידי ${\displaystyle i(g)=(g),j(h)=(h)}$ (כלומר הן שולחות כל איבר למחלקה של המילה שהוא יוצר); העתקות אלו מהוות שיכונים של ${\displaystyle G,H}$ לתוך ${\displaystyle G*H}$. יותר מכך, כל החבורה ${\displaystyle G*H}$ נוצרת על ידי התמונות ${\displaystyle i(G),j(H)}$.

כעת, כדי לפתור את הבעיה האוניברסלית, בהינתן חבורה והומומורפיזמים כנ"ל, נגדיר ${\displaystyle L:G*H\to K}$ על איברי ${\displaystyle i(G),j(H)}$ (היוצרים את החבורה), באופן הבא: ${\displaystyle L((g))=\phi (g),L((h))=\psi (h)}$. בדיקות ישירות מראות כי כל התנאים שנדרשו מתקיימים. בפרט רואים כי הגדרת ${\displaystyle L}$ נכפית כך שהדיאגרמה תתחלף, ולכן ההעתקה יחידה.

ניתן לתת ייצוג מפורש של המכפלה החופשית על ידי יוצרים ויחסים. פורמלית, אם ${\displaystyle G=\langle S_{1}\mid R_{1}\rangle ,H=\langle S_{2}\mid R_{2}\rangle }$, אז מתקיים:

${\displaystyle G*H=\langle S_{1},S_{2}\mid R_{1},R_{2}\rangle }$

כעת גם רואים מדוע החבורה נקראת מכפלה חופשית - זו החבורה הכללית ביותר המכילה את ${\displaystyle G,H}$ ומקיימת את היחסים שלהן (בנפרד) ורק אותם. לפי משפט גרושקו (אנ'), מספר היוצרים המינימלי של המכפלה החופשית הוא סכום מספרי היוצרים המינימליים של שני הגורמים.

• כאמור לעיל, זוהי החבורה הכללית ביותר המכילה את שתי חבורות הבסיס ונוצרת על ידי איבריהן.
• מכפלה חופשית של שתי חבורות לא טריוויאליות היא בעלת מרכז טריוויאלי.
• חבורה חופשית ביוצר אחד היא ${\displaystyle F_{1}\cong \mathbb {Z} }$, וחבורה חופשית בכמות סופית של יוצרים ניתן לכתוב על ידי ${\displaystyle F_{n}=F_{n-1}*F_{1}}$. מתקיים גם ${\displaystyle F_{n}*F_{m}\cong F_{n+m}}$.
• האבליניזציה כל מכפלה חופשית היא המכפלה הישרה של האבליניזציות, כלומר ${\displaystyle Ab(G*H)=Ab(G)\times Ab(H)}$.

לפי משפט תת-החבורות של קורוש (1933), כל תת-חבורה של מכפלה חופשית G אפשר לפרק בעצמה למכפלה חופשית, שבה כל מרכיב הוא או ציקלי אינסופי, או צמוד (ב-G) לתת-חבורה של אחד המרכיבים. לפי משפט האיזומורפיזם למכפלות חופשיות, שגם אותו הוכיח קורוש ב-1933, אם אפשר להציג חבורה G כמכפלה חופשית בשתי דרכים, אז המרכיבים בשתי ההצגות איזומורפיים עד כדי סדר. לפי משפט העידון (Baer ולוי, 1936), אם אפשר להציג מכפלה חופשית בשתי דרכים, אז יש הצגה נוספת כך שכל גורם משתי ההצגות הראשונות הוא מכפלה חופשית של גורמים ממנה.

• חבורה חופשית
• הצגה על ידי יוצרים ויחסים
• מכפלת היתוך