אלומה קוואזי-קוהרנטית

במתמטיקה, במיוחד בגאומטריה אלגברית, אלומה קוואזי-קוהרנטית על מרחב מחויג ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ היא אלומת ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-מודולים בעלת הצגה מקומית על-ידי יוצרים ויחסים. למושג זה יש הגדרה הרבה יותר מוחשית במקרה חשוב של סכמות. אלומות קוואזי-קוהרנטיות על סכמה מהוות קטגוריה אבלית.

יהי ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ מרחב מחויג ותהי ${\displaystyle F}$ אלומה של ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-מודולים. האלומה ${\displaystyle F}$ נקראת קוואזי-קוהרנטית אם לכל ${\displaystyle x\in X}$ קיימת סביבה פתוחה ${\displaystyle U\ni x}$ יחד עם סדרה מדויקת של ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U}}$-מודולים $${\displaystyle {\mathcal {O}}^{I}\to {\mathcal {O}}^{J}\to F|_{U}\to 0,}$$ כאשר ${\displaystyle I,J}$ קבוצות, לא בהכרח סופיות.^[1]

מורפיזמים של אלומות קוואזי-קוהרנטיות הם פשוט מורפיזמים של אלומות של ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-מודולים. במקרה של מרחב מחויג כללי הקטגוריה של אלומות קוואזי-קוהרנטיות לא בהכרח אבלית, לכן השימוש במושג אלומות קוואזי-קוהרנטיות בכלליות רחבה זאת אינו נפוץ. לעומת זאת, עבור סכמות, מושג זה מהווה כלי חשוב בגאומטריה אלגברית.

תהי ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ סכמה אפינית. זה אומר כי ${\displaystyle X=Spec(A)}$ כאשר ${\displaystyle A=\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ חוג החתכים הגלובליים. כל ${\displaystyle A}$-מודול ${\displaystyle M}$ מגדיר אלומת ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-מודולים ${\displaystyle {\tilde {M}}}$ כך שלמשל ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}={\tilde {A}}}$. האלומה ${\displaystyle {\tilde {M}}}$ קוואזי-קוהרנטית והתאמה זאת מגדירה שקילות בין קטגורית ${\displaystyle A}$-מודולים לבין קטגורית האלומות הקוואזי-קוהרנטיות על ${\displaystyle X=Spec(A)}$.

תהי ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ סכמה כללית. כיוון שתכונה להיות אלומה קוואזי-קוהרנטית נבדקת באופן מקומי, אנחנו מסיקים כי אלומת ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-מודולים ${\displaystyle F}$ קוואזי-קוהרנטית אם ורק אם לכל תת-קבוצב פתוחה אפינית ${\displaystyle U\subset X}$ הצמצום ${\displaystyle F|_{U}}$ הוא איזומורפי ל-${\displaystyle {\tilde {M}}}$ כאשר ${\displaystyle M=\Gamma (U,F)}$.^[2]

• קטגוריה של אלומות קוואזי-קוהרנטיות היא קטגוריה אבלית בעלת מספיק אובייקטים אינייקטיביים
• מכפלה טנזורית של אלומות קוואזי-קוהרנטיות היא קוואזי-קוהרנטית.
• אם ${\displaystyle F}$ אלומה קוהרנטית ואם ${\displaystyle G}$ אלומה קוואזי-קוהרנטית, אז האלומה${\displaystyle {\mathcal {H}}om(F,G)}$ גם היא קוואזי-קוהרנטית.

• אלומה קוהרנטית

• אלומה קוואזי-קוהרנטית ב-Stacks Project
• אלומה קוואזי-קוהרנטית, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
• Andreas Gathmann, Quasi-coherent Sheaves