פעולה אסוציאטיבית

הרכבה של פעולות מאפשרת להגדיר בעזרת פעולה בינארית גם פעולות על מספר כלשהו של משתנים. למשל, בארבעה משתנים קיימות הפעולות ${\displaystyle \ (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\mapsto x_{1}*(x_{2}*(x_{3}*x_{4})),\,x_{1}*((x_{2}*x_{3})*x_{4}),\,(x_{1}*x_{2})*(x_{3}*x_{4}),\,(x_{1}*(x_{2}*x_{3}))*x_{4},\,((x_{1}*x_{2})*x_{3})*x_{4}}$ . מספר הפעולות השונות שאפשר להגדיר באופן הזה, כאשר * הוא אופרטור בינארי, הוא מספר קטלן. אם הפעולה אסוציאטיבית, כל הפעולות יתנו אותה תוצאה.

בדרך כלל המונח "פעולה אסוציאטיבית" מתייחס, כאמור, לפעולה בינארית, כלומר לפונקציה ${\displaystyle \ A\times A\rightarrow A}$ . עם זאת למלה "פעולה" יש גם משמעות רחבה יותר, והיא עשויה לחול על כל פונקציה דו-מקומית ${\displaystyle \ A\times B\rightarrow C}$ . במצב שבו מוגדרות פעולות ${\displaystyle \ f:A\times B\rightarrow X}$ , ${\displaystyle \ g:B\times C\rightarrow Y}$ , וכן ${\displaystyle \ a:X\times C\rightarrow \Omega }$  ו-${\displaystyle \ b:A\times Y\rightarrow \Omega }$ , אומרים שהמערכת אסוציאטיבית (או שאחת הפעולות אסוציאטיבית ביחס לאחרות) אם הדיאגרמה

${\displaystyle \ {\begin{array}{ccc}A\times B\times C&\longrightarrow ^{1\times g}&A\times Y\\\downarrow ^{f\times 1}&&\downarrow ^{b}\\X\times C&\longrightarrow ^{a}&\Omega \end{array}}}$  קומוטטיבית.

הרכבה של פונקציות היא ��סוציאטיבית במובן הכללי הזה: לכל שלוש פונקציות ${\displaystyle \ X{\stackrel {f}{\rightarrow }}Y{\stackrel {g}{\rightarrow }}Z{\stackrel {h}{\rightarrow }}U}$  מתקיים ${\displaystyle \ (h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)}$ . גם פעולת הכפל בסקלר של מודול M מעל חוג R היא אסוציאטיבית במובן דומה: לכל ${\displaystyle \ a,b\in R}$  ו-${\displaystyle \ v\in M}$  מתקיים ${\displaystyle \ a(bx)=(ab)x}$ .

אין קשר ישיר בין אסוציאטיביות לתכונה אחרת של פעולות בינאריות, קומוטטיביות:

• ישנן פעולות שהן גם קומוטטיביות וגם אסוציאטיביות (לדוגמה: חיבור וכפל במספרים, AND, OR, XOR).
• ישנן פעולות שהן לא קומוטטיביות ולא אסוציאטיביות (לדוגמה: חיסור וחילוק).
• ישנן פעולות שהן קומוטטיביות אבל לא אסוציאטיביות (למשל: הערך המוחלט של ההפרש, NOR, ‏NAND).
• ישנן פעולות שהן לא קומוטטיביות אבל כן אסוציאטיביות (למשל: הפעולה המוגדרת לפי ${\displaystyle \ a\#b=a}$ , או כפל מטריצות).

• אלגברה לא אסוציאטיבית

• פעולה אסוציאטיבית, באתר MathWorld (באנגלית)