Número cardinal

Os números cardinais indican a cantidade de elementos dun conxunto e reflíctense nos conceptos de números naturais e de números enteiros. Por exemplo, considerando o conxunto de extremidades do corpo humano e chamándolle a este conxunto E, E = {brazo dereito, brazo esquerdo, perna dereita, perna esquerda}, o cardinal do conxunto é 4. Pódese dicir, xa que logo, que:

• |E| = 4
• card(E) = 4
• #E = 4

4 é un número natural e un número enteiro positivo.

O númeral cardinal é a categoría gramatical que indica o número de elementos dun conxunto. O numeral cardinal diferénciase do ordinal, do múltiplo e do partitivo.

Os principais numerais cardinais son: cero, un/unha, dous/dúas, tres, catro, cinco, seis, sete, oito, nove, dez, once, doce, trece, catorce, quince, dezaseis, dezasete, dezaoito, dezanove, vinte, vinte e un/unha, vinte e dous/dúas, trinta, trinta e un/unha, corenta, cincuenta, sesenta, setenta, oitenta, noventa, cen, cento un/unha, douscentos/duascentas, trescentos/as, catrocentos/as, cincocentos/as, quiñentos/as, seiscentos/as, setecentos/as, oitocentos/as, novecentos/as, mil.

O numeral cardinal adoita incluírse entre os determinantes. Pode ter función adxectiva ou pronominal:

• se acompaña a un nome (cinco libros)
• Función pronominal: suple (devolvín dúas).

En galego, o numeral cardinal tén marca de xénero en: un/unha, dous/dúas, os centos (trescentas) e os seus derivados. Exemplos:

• un boi, unha vaca;
• dous cuxos, dúas becerras;
• trescentos libros, trescentas follas;

Diferénciese "tres centos de libros" de "trescentos libros".

Existen algúns substantivos que equivalen a certos números cardinais e que algúns autores denominan colectivos (Carballo Calero, 1979, p. 202 e Álvarez e Xove, 2002, p. 526):

• un ≡ unidade
• dous ≡ par, parella
• tres ≡ trío, terna
• dez ≡ decena
• doce ≡ ducia
• cen ≡ centena

Nalgúns casos, son períodos de tempo:

• cinco anos ≡ lustro
• dez anos ≡ década
• cen anos ≡ século

Noutros casos, poden ter significados connotativos, por exemplo, do campo da música:

• un músico ≡ solo (non confundir con "só")
• dous músicos ≡ dúo
• tres músicos ≡ trío
• catro músicos ≡ cuarteto

Tamén sucede o mesmo en poesía cos nomes de estrofas e noutros campos.

O concepto de número cardinal foi proposto por Georg Cantor en 1874. A partir do concepto de cardinalidade, chegamos ao cardinal. A cardinalidade é a característica que define o número de elementos dun conxunto. Os seguintes conxuntos son diferentes pero ten a mesma cardinalidade:

E = {brazo dereito, brazo esquerdo, perna dereita, perna esquerda} C = {norte, sur, leste, oeste}

Por tanto, |E| = |C|

Definindo unha correspondencia biunívoca entre dous conxuntos finitos, Cantor demostraba facilmente se tiñan a mesma cardinalidade cando había unha relación bixectiva entre os seus elementos. Esta correspondencia un a un tamén lle serviu para crear o concepto de conxunto infinito: todos os seus elementos están relacionados de forma bixectiva co conxunto de números naturais.

Os conxuntos poden dividirse en clases de equivalencia definidas en función da relación de equivalencia que inclúa a un par de conxuntos se e só se entre estes existe unha bixección. A cardinalidade dun conxunto sería a clase de equivalencia á que este pertence. Dous conxuntos ${\displaystyle A,B}$ coa mesma cardinalidade (que pertencen ao mesmo cardinal) denótase:

${\displaystyle \left|A\right|=\left|B\right|{\text{ ,ou ben }}\#A=\#B}$

A existencia dunha función inxectiva entre dous conxuntos tamén define unha relación de orde entre os seus cardinais; é dicir:

${\displaystyle \left|A\right|\leq _{\#}\left|B\right|\Leftrightarrow \exists f:A\rightarrow B{\text{, inxectiva}}}$

A relación ${\displaystyle <_{\#}}$ exclúe a posibilidade de que os cardinais sexan iguais.
É posíbel demostrar que si

${\displaystyle \left|A\right|\leq _{\#}\left|B\right|}$ e ${\displaystyle \left|B\right|\leq _{\#}\left|A\right|}$ isto implica que ${\displaystyle \left|A\right|=\left|B\right|}$

O cardinal do conxunto baleiro denótase convencionalmente como 0 (cero) e contén ao único conxunto baleiro. E o coxunto baleiro desígnase ∅.

Os números cardinais dalgúns conxuntos represéntanse con símbolos especiais:

• O cardinal dos números reais: ${\displaystyle {\mbox{card}}(\mathbb {R} )=c}$;
• O cardinal dos números naturais: ${\displaystyle {\mbox{card}}(\mathbb {N} )=\aleph _{0}}$ (Alef-0).
• O cardinal inmediatamente superior a ${\displaystyle \aleph _{0}}$: ${\displaystyle \aleph _{1}}$

Usando os axiomas de Zermelo-Fraenkel (ZF) pode comprobarse que os tres cardinais anteriores cumpren ${\displaystyle \aleph _{0}<\aleph _{1}\leq c}$. A hipótese do continuo afirma que de feito ${\displaystyle c=\aleph _{1}}$. Gödel probou en 1938 que esta hipótese é consistente cos axiomas ZF e, por tanto, pode ser tomado como un axioma novo para a teoría de conxuntos. Porén, en 1963, Paul Cohen probou que a negación da hipótese do continuo tamén é consistente cos axiomas ZF, o que proba que esta hipótese é totalmente independente dos axiomas ZF. É dicir, poden construírse tanto "teorías de conxuntos cantorianas" nas que a hipótese do continuo é unha afirmación certa coma "teorías de conxuntos non cantorianas" nas que a hipótese do continuo sexa falsa. Esta situación é similar á das xeometrías non euclídeas.

• Número ordinal

• Vocabulario Ortográfico da Lingua Galega
• Normas Ortográficas e Morfolóxicas do Idioma Galego

• Álvarez, R. e Xove, X. (2002) Gramática da lingua galega. Vigo: Ed. Galaxia. Acceso en Google books.
• Carballo Calero, R. (1979) Gramática elemental del gallego común. Vigo: Ed. Galaxia. (en castelán) Acceso en Google Books