Esfera

Como se mencionou anteriormente r ou R é o raio da esfera; calquera liña dende o centro ata un punto da esfera tamén se chama raio. "Raio" úsase en dous sentidos: como segmento de liña e tamén como lonxitude.^[1]

Se un raio se estende polo centro ata o lado oposto da esfera, crea un diámetro. Do mesmo xeito que o raio, a lonxitude dun diámetro tamén se denomina diámetro e denótase d. Os diámetros son os segmentos de liña máis longos que se poden trazar entre dous puntos da esfera: a súa lonxitude é o duplo do raio, d = 2r. Dous puntos da esfera conectados por un diámetro son puntos antípodas un do outro.^[1]

Unha esfera unitaria é unha esfera cun raio unitario (r = 1). Por comodidade, a miúdo considérase que as esferas teñen o seu centro na orixe do sistema de coordenadas, e as esferas deste artigo teñen o seu centro na orixe a non ser que se mencione outro centro.

Unha gran circunferencia na esfera ten o mesmo centro e raio que a esfera, e divídeo en dous hemisferios iguais.

Aínda que a figura da Terra non é perfectamente esférica, os termos tomados da xeografía son convenientes para aplicar á esfera. Unha liña particular que pasa polo seu centro define un eixo (como no eixo de rotación da Terra). A intersección esfera-eixo define dous polos antípodas (polo norte e polo sur). O gran círculo equidistante aos polos chámase ecuador. Os grandes círculos que pasan polos polos chámanse liñas de lonxitude ou meridianos. Os círculos pequenos da esfera que son paralelos ao ecuador son círculos de latitude (ou paralelos).

Os matemáticos consideran que unha esfera é unha superficie pechada incrustada no espazo euclidiano tridimensional. Estabelecen unha distinción entre unha esfera e unha bóla, que é unha variedade con límite tridimensional que inclúe o volume que contén a esfera. Unha bóla aberta exclúe a esfera en si, mentres que unha bóla pechada inclúe a esfera: unha bóla pechada é a unión da bóla aberta e a esfera, e unha esfera é o límite dunha bóla (pechada ou aberta). A distinción entre bóla e esfera non sempre se mantivo e, sobre todo, as referencias matemáticas máis antigas falan dunha esfera como un sólido. A distinción entre "círculo" e "disco" no plano é semellante.

As pequenas esferas ou bólas chámanse ás veces esférulas.

En xeometría analítica, unha esfera co centro (x₀, y₀, z₀) e o raio r é o lugar xeométrico de todos os puntos (x, y, z) tal que

${\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=r^{2}.}$ 

Dado que se pode expresar como un polinomio cadrático, unha esfera é unha superficie cadrática, un tipo de superficie alxébrica.^[1]

Sexan a, b, c, d, e números reais con a ≠ 0 e facemos

${\displaystyle x_{0}={\frac {-b}{a}},\quad y_{0}={\frac {-c}{a}},\quad z_{0}={\frac {-d}{a}},\quad \rho ={\frac {b^{2}+c^{2}+d^{2}-ae}{a^{2}}}.}$ 

Así a ecuación

${\displaystyle f(x,y,z)=a(x^{2}+y^{2}+z^{2})+2(bx+cy+dz)+e=0}$ 

non ten puntos reais como solucións se ${\displaystyle \rho <0}$  e chámase a ecuación dunha esfera imaxinaria. Se ${\displaystyle \rho =0}$ , a única solución de ${\displaystyle f(x,y,z)=0}$  é o punto ${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})}$  e dise que a ecuación é a ecuación dunha esfera puntual. Finalmente, no caso ${\displaystyle \rho >0}$ , ${\displaystyle f(x,y,z)=0}$  é unha ecuación dunha esfera cuxo centro é ${\displaystyle P_{0}}$  e cuxo raio é ${\displaystyle {\sqrt {\rho }}}$ .^[2]

Se a na ecuación anterior é cero, entón f(x, y, z) = 0 é a ecuación dun plano. Así, pódese pensar que un plano é unha esfera de raio infinito cuxo centro é un punto no infinito.^[3]

Unha ecuación paramétrica para a esfera con raio ${\displaystyle r>0}$  e centro ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$  pódese parametrizar usando función trigonométricas.

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=x_{0}+r\sin \theta \;\cos \varphi \\y&=y_{0}+r\sin \theta \;\sin \varphi \\z&=z_{0}+r\cos \theta \,\end{aligned}}}$ ^[4]

Os símbolos usados ​​aquí son os mesmos que os usados ​​nas coordenadas esféricas. Así, r é constante, mentres que θ varía de 0 a π e ${\displaystyle \varphi }$  varía de 0 a 2π.

A área dunha esfera de raio ${\displaystyle r}$  é:

${\displaystyle A=4\pi r^{2}}$ .

O volume da bóla que contén é:

${\displaystyle V={\frac {4\pi r^{3}}{3}}}$ .

A súa “compacidade”, é dicir, a súa proporción área-volume, é polo tanto:

${\displaystyle C={\frac {A}{V}}={\frac {3}{r}}}$ .

O momento de inercia dunha bóla homoxénea de raio ${\displaystyle r}$ , densidade ${\displaystyle \rho }$  e masa M, con respecto a un eixo que pasa polo seu centro é:

${\displaystyle I={\frac {2Mr^{2}}{5}}={\frac {8\pi \rho r^{5}}{15}}}$ .

O momento de inercia dunha esfera homoxénea de raio ${\displaystyle r}$  e masa M, en relación a un eixe que pasa polo seu centro é:

${\displaystyle I={\frac {2Mr^{2}}{3}}={\frac {8\pi \rho r^{5}}{9}}}$ .

O elemento de área da esfera de raio ${\displaystyle r}$  en coordenadas latitude-lonxitude (${\displaystyle \lambda }$ -${\displaystyle \varphi }$ ) é ${\displaystyle \mathrm {d} \sigma =r^{2}\cos \lambda \,\mathrm {d} \lambda \,d\varphi }$ . Deducimos disto que a área dunha porción limitada por dous semicírculos que unen os polos e forman un ángulo ${\displaystyle \alpha }$  expresado en radiáns) é ${\displaystyle 2\alpha \,r^{2}}$ .

Isto tamén permite calcular a área dunha zona esférica, é dicir, unha porción dunha esfera limitada por dous planos paralelos que cortan a esfera (ou son tanxentes). Atopamos ${\displaystyle 2\pi rh}$  onde ${\displaystyle h}$  designa a distancia dos dous planos: a área é a mesma que a dun cilindro circular da mesma altura tanxente á esfera (cilindro circunscrito). Este notable resultado é demostrado por Arquímedes no seu tratado Sobre a esfera e o cilindro^[5]. Segundo Cicerón, Arquímedes pediría que se gravaran na súa tumba unha esfera e o seu cilindro circunscrito, en lembranza deste resultado^[6].

O cilindro circunscrito por unha esfera dada ten un volume igual a 1.5 veces o volume da esfera.

A esfera ten a menor área entre as superficies que encerran un determinado volume e encerra o maior volume entre as superficies dunha determinada área. É a resposta á pregunta da isoperimetría para o espazo euclidiano de dimensión 3. Por este motivo, a esfera aparece na natureza, por exemplo as burbullas e as pingas de auga (en ausencia de gravidade) son esferas, porque a tensión superficial intenta minimizar a área.

Pódense definir unha serie de rexións especiais para unha bóla:

• casquete, limitado por un plano.
• sector, limitado por un límite cónico cun ápice no centro da esfera.
• segmento, limitado por un par de planos paralelos.
• coroa, limitado por dúas esferas concéntricas de diferentes raios.
• cuña, limitada por dous planos que pasan polo centro da esfera e pola superficie da esfera.
• Hemisferio
• lúa esférica, área nunha esfera delimitada por dous semicírculos grandes que se atopan en puntos antípodas.
• polígono esférico, polígono na superficie da esfera

• Número pi