Correlación

A relación entre dúas variables cuantitativas queda representada mediante a liña de mellor axuste, trazada a partir da nube de puntos. Os principais compoñentes elementais dunha liña de axuste e polo tanto dunha correlación, son a forza, o sentido e a forma:

• a forza extrema segundo o caso, mide o grao no que a liña representa a nube de puntos: se a nube é estreita e alongada represéntase por unha liña recta, o que indica que a relación é forte; se a nube de puntos ten unha tendencia elíptica o circular, a relación é débil.
• o sentido mide a variación dos valores de B con respecto a A: se ao creceren os valores de A fano os de B, a relación é directa (pendente positiva); se ao creceren os valores de A diminúen os de B, a relación é inversa (pendente negativa).
• a forma establece o tipo de liña que define o mellor axuste: a liña recta, a curva monotónica ou a curva non monotónica

Existen diversos coeficientes que miden o grao de correlación, adaptados á natureza dos datos. O máis coñecido é o coeficiente de correlación de Pearson (introducido en realidade por Francis Galton), que se obtén dividindo a covarianza de dúas variables entre o produto dos seus desvíos estándar. Outros coeficientes son:

• Coeficiente de correlación de Spearman
• Correlación canónica
• Coeficiente de correlación Intraclase
• Correlación de Kendall
• Correlación de Jaspen

Dados os valores da mostra de dúas variables aleatorias ${\displaystyle X(x_{1},\ldots ,x_{n})}$  e ${\displaystyle Y(y_{1},\ldots ,y_{n})}$ , que poden ser consideradas como vectores nun espazo de n dimensións, poden construírse os "vectores centrados" como:

${\displaystyle X(x_{1}-{\bar {x}},\ldots ,x_{n}-{\bar {x}})}$  e ${\displaystyle Y(y_{1}-{\bar {y}},\ldots ,y_{n}-{\bar {y}})}$ .

O coseno do ángulo alfa entre estes vectores vén dada pola fórmula seguinte:

${\displaystyle r=\cos(\alpha )={\dfrac {\displaystyle \sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\bar {x}})\cdot (y_{i}-{\bar {y}})}{{\sqrt {\displaystyle \sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}\cdot {\sqrt {\displaystyle \sum _{i=1}^{N}(y_{i}-{\bar {y}})^{2}}}}}}$ 

pois ${\displaystyle \cos(\alpha )}$  é o coeficiente de correlación da mostra de Pearson. O coeficiente de correlación é o coseno entre ambos vectores centrados:

• se r = 1, o ángulo ${\displaystyle \alpha =0}$ °, ambos os vectores son colineares (paralelos).
• se r = 0, o ángulo ${\displaystyle \alpha =90}$ °, ambos os vectores son ortogonais.
• se r =-1, o ángulo ${\displaystyle \alpha =180}$ °, ambos os vectores son colineares de dirección oposta.

Máis xeralmente: ${\displaystyle \alpha =\arccos(r)}$ .

Por suposto, dende o punto vista xeométrico, non se fala de correlación linear: o coeficiente de correlación ten sempre un sentido, calquera que sexa o seu valor entre -1 e 1. Informa de modo preciso, non tanto sobre o grao de dependencia entre as variables, senón sobre a súa distancia angular na hiperesfera en n dimensións.

A iconografía das correlacións é un método de análise multidimensional que está baseado nesta idea. A correlación linear dáse cando nunha nube de puntos se atopan ou se distribúen arredor dunha recta.

A fórmula de correlación para dúas series distintas con certo desfase "k", está dada pola fórmula:

${\displaystyle r_{k}={\dfrac {\displaystyle \sum _{i=1}^{N-k}(x_{i}-{\bar {x}})\cdot (y_{i+k}-{\bar {y}})}{{\sqrt {\displaystyle \sum _{i=1}^{N-k}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}\cdot {\sqrt {\displaystyle \sum _{i=k+1}^{N}(y_{i}-{\bar {y}})^{2}}}}}}$ 

O coeficiente de correlación dunha mostra é unha variable aleatoria, o que significa que se repetimos un experimento ou consideramos diferentes mostras se obterán valores diferentes e polo tanto o coeficiente de correlación da mostra calculado a partir delas terá valores lixeiramente diferentes. Para mostras grandes a variación nese coeficiente será menor que para mostras pequenas. R. A. Fisher foi o primeiro en determinar a distribución de probabilidade para o coeficiente de correlación.

Se as dúas variables aleatorias que se trata de relacionar proceden dunha distribución gaussiana bivariante entón o coeficiente de correlación r segue unha distribución de probabilidade dada por:^[1][2]

${\displaystyle f\left(r\right)={\frac {\left(n-2\right)\,\mathbf {\Gamma } \left(n-1\right)\left(1-\rho ^{2}\right)^{\frac {n-1}{2}}\left(1-r^{2}\right)^{\frac {n-4}{2}}}{{\sqrt {2\pi }}\,\mathbf {\Gamma } \left(n-{\frac {1}{2}}\right)\left(1-\rho r\right)^{n-{\frac {3}{2}}}}}\,\mathbf {_{2}F_{1}} \left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};{\frac {2n-1}{2}};{\frac {\rho r+1}{2}}\right)}$ 

onde:

${\displaystyle \mathbf {\Gamma } }$  é a distribución gamma

${\displaystyle \,\mathbf {_{2}F_{1}} (a,b;c;z)}$  é a función gaussiana hiperxeométrica.

O valor esperado do coeficiente de correlación da mostra r es:

${\displaystyle \mathbb {E} \left(r\right)=\rho -{\frac {\rho \left(1-\rho ^{2}\right)}{2\left(n-1\right)}}+\cdots }$ 

polo tanto, r é un estimador nesgado de ${\displaystyle \,\rho }$ . Pode obterse un estimador aproximado non nesgado resolvendo a ecuación:

${\displaystyle {\bar {r}}=\mathbb {E} \left(r\right)=\rho -{\frac {\rho \left(1-\rho ^{2}\right)}{2\left(n-1\right)}}}$  para ${\displaystyle \,\rho }$ 

Aínda que a solución:

${\displaystyle {\rho }=r\left[1+{\frac {1-r^{2}}{2\left(n-1\right)}}\right]}$ 

é subóptima. Pode obterse un estimador nesgado con mínima varianza para grandes valores de n, con nesgo de orde ${\displaystyle {\frac {1}{n-1}}}$  buscando o máximo da expresión:

${\displaystyle \log {f\left(r\right)}}$ , i.e. ${\displaystyle {\hat {\rho }}=r\left[1-{\frac {1-r^{2}}{2\left(n-1\right)}}\right]}$ 

No caso especial de que ${\displaystyle \,\rho =0}$ , a distribución orixinal pode ser reescrita como:

${\displaystyle f\left(r\right)={\frac {\left(1-r^{2}\right)^{\frac {n-4}{2}}}{\mathbf {B} \left({\frac {1}{2}},{\frac {n-2}{2}}\right)}}}$ 

onde ${\displaystyle \mathbf {B} }$  é a función beta.

• Diccionario Estadístico - Divestatística (en castelán)
• Simulación da correlación entre dúas variables discretas con R (linguaxe de programación)