Distribución gamma

Distribución gamma

Función de densidade
Función de distribución
Parámetros	k > 0 (forma), θ > 0 (escala)
Soporte	${\displaystyle \scriptstyle x\;\in \;(0,\,\infty )}$
Función de densidade	${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (k)\theta ^{k}}}x^{k\,-\,1}e^{-{\frac {x}{\theta }}}}$
Función de distribución	${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (k)}}\gamma \left(k,\,{\frac {x}{\theta }}\right)}$
Media	${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {E} [X]=k\theta }$ ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {E} [\ln X]=\psi (k)+\ln(\theta )}$
Mediana
Moda	${\displaystyle \scriptstyle (k\,-\,1)\theta {\text{ for }}k\;{\geq }\;1}$
Varianza	${\displaystyle \scriptstyle \operatorname {Var} [X]=k\theta ^{2}}$ ${\displaystyle \scriptstyle \operatorname {Var} [\ln X]=\psi _{1}(k)}$
Asimetría	${\displaystyle \scriptstyle {\frac {2}{\sqrt {k}}}}$
Curtose	${\displaystyle \scriptstyle {\frac {6}{k}}}$
Entropía	${\displaystyle \scriptstyle {\begin{aligned}\scriptstyle k&\scriptstyle \,+\,\ln \theta \,+\,\ln[\Gamma (k)]\\\scriptstyle &\scriptstyle \,+\,(1\,-\,k)\psi (k)\end{aligned}}}$
F. xeradora de momentos	${\displaystyle \scriptstyle (1\,-\,\theta t)^{-k}{\text{ for }}t\;<\;{\frac {1}{\theta }}}$
Func. caract.	${\displaystyle \scriptstyle (1\,-\,\theta i\,t)^{-k}}$

En estatística a distribución gamma é unha distribución de probabilidade continua con dous parámetros ${\displaystyle k}$ e ${\displaystyle \lambda }$ cunha función de densidade para valores ${\displaystyle x>0}$ que ten como expresión:

${\displaystyle f(x)=\lambda e^{-\lambda x}{\frac {(\lambda x)^{k-1}}{\Gamma (k)}}}$

onde ${\displaystyle e}$ é o número e e ${\displaystyle \Gamma }$ é a función gamma. Para valores ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ a función gamma é ${\displaystyle \Gamma (k)=(k-1)!}$ (o factorial de ${\displaystyle k-1}$). Neste caso, por exemplo para describir un proceso de Poisson, chámase distribución Erlang cun parámetro ${\displaystyle \theta =1/\lambda }$.

O valor esperado e a varianza dunha variable aleatoria X de distribución gamma son

${\displaystyle E[X]=k/\lambda =k\theta }$

${\displaystyle V[X]=k/\lambda ^{2}=k\theta ^{2}}$