Tonneau (formules)

Pour trouver la capacité d'un tonneau, ou jaugeage, beaucoup de formules ont été proposées. Celles-ci sont en général approchées, une formule exacte nécessitant de connaître la forme précise du tonneau.

On se donne la hauteur L du tonneau, le diamètre minimal d, dit diamètre du fond, et le diamètre maximal D, dit diamètre du bouge. La plupart des formules historiques reviennent à approximer le volume du tonneau par celui d'un cylindre de même hauteur, mais de diamètre intermédiaire entre celui du fond et celui du bouge.

• Kepler a donné une formule approchée

${\displaystyle V={\frac {\pi L}{12}}(D^{2}+Dd+d^{2})}$

Ce volume est celui de deux troncs de cône réunis par leur base de diamètre D. Il sous-estime légèrement le volume du tonneau.

• Oughtred a modifié la formule :

${\displaystyle V={\frac {\pi L}{12}}(2D^{2}+d^{2})}$

Cette formule correspond précisément à un tonneau dont le profil est celui d'un arc d'ellipse.

• Une instruction du ministère de l'Intérieur en pluviôse de l'an VII fixa la formule suivante^[1] :

${\displaystyle V={\frac {\pi L}{4}}\left(D-{\frac {1}{3}}(D-d)\right)^{2}={\frac {\pi L}{4}}\left(d+{\frac {2}{3}}(D-d)\right)^{2}}$

Ou encore :

${\displaystyle V={\frac {\pi L}{36}}(2D+d)^{2}}$

• Dez^[2] a établi la formule :

${\displaystyle V={\frac {\pi L}{4}}\left(d+{\frac {5}{8}}(D-d)\right)^{2}}$

Ou encore : ${\displaystyle V={\frac {\pi L}{256}}(5D+3d)^{2}}$

• Les Douanes emploient la formule :

${\displaystyle V=0{,}625\;C^{3}}$

Dans laquelle ${\displaystyle C}$ représente la diagonale allant du trou de bonde au point le plus éloigné de ce trou. Elle est très rapide, car elle n'exige qu'une seule mesure.

La forme générale des tonneaux consiste en une surface de révolution engendrée par une portion de courbe et terminée par deux plans parallèles équidistants de l'équateur. Le volume se calcule de la façon suivante :

${\displaystyle V=\int S\,\mathrm {d} x}$

Où ${\displaystyle S}$ est la surface du disque de rayon ${\displaystyle y}$

${\displaystyle V=2\pi \int _{0}^{\frac {L}{2}}y^{2}\,\mathrm {d} x}$

Les formes les plus usuelles sont données par les exemples qui suivent.

On choisit l'axe du tonneau comme axe de la parabole. L'équation de la parabole est de la forme ${\displaystyle y=ax^{2}+b}$, avec ${\displaystyle a={\frac {2(d-D)}{L^{2}}}}$ et ${\displaystyle b={\frac {D}{2}}}$. Le polynôme s'intègre facilement, et on obtient :

${\displaystyle V={\frac {\pi L}{60}}(8D^{2}+3d^{2}+4Dd)}$

Elle a pour équation ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$, où ${\displaystyle a={\frac {L}{2{\sqrt {1-\left({\frac {d}{D}}\right)^{2}}}}}}$ et ${\displaystyle b={\frac {D}{2}}}$. D'où la formule ${\displaystyle V=2\pi b^{2}\int _{0}^{\frac {L}{2}}\left(1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}\right)\mathrm {d} x}$ qui s'intègre facilement elle aussi, et on obtient :

${\displaystyle V={\frac {\pi L}{12}}(2D^{2}+d^{2})}$

On retrouve la formule d'Oughtred.

C'est la courbe qui vient immédiatement à l'esprit, car elle est facile à tracer au compas. L'équation s'exprime par : ${\displaystyle x^{2}+(y-b)^{2}=R^{2}}$ (cercle de centre H, de rayon R et passant par A et B), avec ${\displaystyle b={\frac {D^{2}-d^{2}-L^{2}}{4(D-d)}}}$ et ${\displaystyle R={\frac {(D-d)^{2}+L^{2}}{4(D-d)}}}$. D'où ${\displaystyle V=2\pi \int _{0}^{\frac {L}{2}}(b+{\sqrt {R^{2}-x^{2}}})^{2}\mathrm {d} x}$ et finalement :

${\displaystyle V=\pi \left(L\left(b^{2}+R^{2}-{\frac {L^{2}}{12}}\right)+2bR^{2}\left(\arcsin {\frac {L}{2R}}+{\frac {L}{2R}}{\sqrt {1-\left({\frac {L}{2R}}\right)^{2}}}\right)\right)}$

Noter que si l'on réalise un développement limité à l'ordre 2 de cette formule suivant ${\displaystyle \varepsilon ={\frac {D-d}{L}}}$, on retrouve la formule de la parabole donnée plus haut.

On prend ${\displaystyle y=a\cos(bx)}$ avec ${\displaystyle a={\frac {D}{2}}}$ et ${\displaystyle b={\frac {2}{L}}\arccos {\frac {d}{D}}}$, ce qui donne ${\displaystyle V=2\pi \int _{0}^{\frac {L}{2}}{\frac {D^{2}}{4}}\cos ^{2}(bx)\mathrm {d} x}$ et :

${\displaystyle V={\frac {\pi D^{2}L}{8}}\left(1+{\frac {{\frac {d}{D}}{\sqrt {1-\left({\frac {d}{D}}\right)^{2}}}}{\arccos {\frac {d}{D}}}}\right)}$

Application numérique d'un cas réel. Les cotes sont en décimètres pour des résultats directs en litres.

d = 6,06 dm (petit diamètre)

D = 7,01 dm (diamètre du bouge)

L = 8,05 dm (longueur)

c = 7,68 dm (cas de la formule des Douanes)

b = -13,79 dm (cas du cercle), pour mémoire, car b dépend de d, D et L

R = 17,29 dm (cas du cercle), pour mémoire, car R dépend de d, D et L

Formule	Volume (litres)
Kepler (troncs de cônes)	270,48
Oughtred (ellipse)	284,52
Dez	279,91
Douanes	283,12
Pluviôse an VII	283,25
Parabole	283,76
Cercle	283,90
Cosinus	283,51

Soient A et B les diamètres de la section elliptique du bouge, et soient a et b les diamètres des fonds.

Si on a des paraboles comme génératrices, on a les formules :

Dans le plan xOy :

${\displaystyle y={\frac {2(a-A)}{L^{2}}}x^{2}+{\frac {A}{2}}}$

Dans le plan xOz :

${\displaystyle z={\frac {2(b-B)}{L^{2}}}x^{2}+{\frac {B}{2}}}$

${\displaystyle V=2\int _{0}^{\frac {L}{2}}\pi yz\mathrm {d} x}$

${\displaystyle V={\frac {\pi L}{60}}(3ab+2aB+2Ab+8AB)}$

La génératrice est la parabole d'équation : ${\displaystyle y={\frac {2(d-D)}{L^{2}}}x^{2}+{\frac {D}{2}}}$

• Pour un tonneau couché

Soit ${\displaystyle h}$ la hauteur de liquide

Soit ${\displaystyle x_{1}}$ et ${\displaystyle x_{2}}$ les bornes maximales selon les valeurs de ${\displaystyle h}$

${\displaystyle x_{1}={\sqrt {\frac {hL^{2}}{2(D-d)}}}}$ et ${\displaystyle x_{2}={\sqrt {\frac {(D-h)L^{2}}{2(D-d)}}}}$

${\displaystyle V=\int S\mathrm {d} x}$

Où ${\displaystyle S}$ représente le segment circulaire, de rayon ${\displaystyle y}$, de flèche ${\displaystyle y-{\frac {D}{2}}+h}$.

${\displaystyle S=y^{2}\left(\arccos {\frac {D-2h}{2y}}-{\frac {D-2h}{2y}}{\sqrt {1-\left({\frac {D-2h}{2y}}\right)^{2}}}\right)}$

Si ${\displaystyle h\leq {\frac {D-d}{2}}}$, alors

${\displaystyle V=\int _{0}^{x_{1}}2S\mathrm {d} x}$

Si ${\displaystyle {\frac {D-d}{2}}\leq h\leq {\frac {D+d}{2}}}$, alors

${\displaystyle V=\int _{0}^{\frac {L}{2}}2S\mathrm {d} x}$

Si ${\displaystyle h\geq {\frac {D+d}{2}}}$, alors

${\displaystyle V=\int _{0}^{x_{2}}2S\mathrm {d} x+\int _{x_{2}}^{\frac {L}{2}}2\pi y^{2}\mathrm {d} x}$

• Pour un tonneau debout

${\displaystyle V=\int _{{\frac {L}{2}}-h}^{\frac {L}{2}}\pi y^{2}\mathrm {d} x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}V&=\pi {\Biggl [}{\frac {4(d-D)^{2}}{5L^{4}}}\left(\left({\frac {L}{2}}\right)^{5}-\left({\frac {L}{2}}-h\right)^{5}\right)\\\ &+{\frac {2D(d-D)}{3L^{2}}}\left(\left({\frac {L}{2}}\right)^{3}-\left({\frac {L}{2}}-h\right)^{3}\right)+h\left({\frac {D}{2}}\right)^{2}{\Biggr ]}\end{aligned}}}$

On considère ici aussi la parabole comme génératrice. Soit ${\displaystyle S_{1}}$ cette surface

${\displaystyle S_{1}=2\int _{0}^{\frac {L}{2}}2\pi y\mathrm {d} s}$

où ${\displaystyle \mathrm {d} s}$ est la différentielle de l'abscisse curviligne.

${\displaystyle \mathrm {d} s={\sqrt {1+y'^{2}}}\mathrm {d} x}$

${\displaystyle S_{1}=4\pi \int _{0}^{\frac {L}{2}}(ax^{2}+b){\sqrt {1+4a^{2}x^{2}}}\mathrm {d} x}$

L'intégration se fait par le changement de variable : ${\displaystyle 2ax=\sinh t}$

On arrive à :

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{1}&={\frac {\pi L}{4}}{\Biggl [}{\sqrt {{\frac {4(d-D)^{2}}{L^{2}}}+1}}\left(d+D+{\frac {L^{2}}{8(d-D)}}\right)\\\ &+{\frac {L}{d-D}}\left(D-{\frac {L^{2}}{16(d-D)}}\right)\operatorname {argsinh} {\frac {2(d-D)}{L}}{\Biggr ]}\end{aligned}}}$

Puis on ajoute les deux fonds : ${\displaystyle S_{2}={\frac {\pi d^{2}}{2}}}$

${\displaystyle S=S_{1}+S_{2}}$

• Tonneau couché

Si ${\displaystyle h\leq {\frac {D-d}{2}}}$, alors

${\displaystyle S=\int _{0}^{x_{1}}4y\arccos {\frac {D-2h}{2y}}{\sqrt {1+4a^{2}x^{2}}}\ \mathrm {d} x}$

Si ${\displaystyle {\frac {D-d}{2}}\leq h\leq {\frac {D+d}{2}}}$, alors

${\displaystyle {\begin{aligned}S&=\int _{0}^{\frac {L}{2}}4y\arccos {\frac {D-2h}{2y}}{\sqrt {1+4a^{2}x^{2}}}\ \mathrm {d} x\\\ &+{\frac {1}{2}}\left(d^{2}\left(\arccos {\frac {D-2h}{d}}-(D-2h){\sqrt {d^{2}-(D-2h)^{2}}}\right)\right)\end{aligned}}}$

Si ${\displaystyle h\geq {\frac {D+d}{2}}}$, alors

${\displaystyle {\begin{aligned}S&=\int _{0}^{x_{2}}4y\arccos {\frac {D-2h}{2y}}{\sqrt {1+4a^{2}x^{2}}}\ \mathrm {d} x\\\ &+\int _{x_{2}}^{\frac {L}{2}}4\pi \left(ax^{2}+{\frac {D}{2}}\right){\sqrt {1+4a^{2}x^{2}}}\ \mathrm {d} x+{\frac {\pi d^{2}}{2}}\end{aligned}}}$

• Tonneau debout

${\displaystyle 0<h<L}$ et en tenant compte d'un fond :

${\displaystyle S=2\pi \int _{{\frac {L}{2}}-h}^{\frac {L}{2}}\left(ax^{2}+{\frac {D}{2}}\right){\sqrt {1+4a^{2}x^{2}}}\ \mathrm {d} x+\pi {\frac {d^{2}}{4}}}$

Si ${\displaystyle h=0}$ alors ${\displaystyle S=0}$. Et si ${\displaystyle h=L}$ le tonneau est plein. Voir supra.

${\displaystyle {\begin{aligned}S&={\frac {\pi L}{8}}{\Biggl [}{\sqrt {1+{\frac {4(d-D)^{2}}{L^{2}}}}}\left(d+D+{\frac {L^{2}}{8(d-D)}}\right)\\\ &-{\frac {L-2h}{L}}{\sqrt {1+{\frac {4(d-D)^{2}(L-2h)^{2}}{L^{4}}}}}\left({\frac {(d-D)(L-2h)^{2}}{L^{2}}}+{\frac {L^{2}}{8(d-D)}}+2D\right)\\\ &+{\frac {L}{d-D}}\left(D-{\frac {L^{2}}{16(d-D)}}\right)\left(\operatorname {argsinh} {\frac {2(d-D)}{L^{2}}}-\operatorname {argsinh} {\frac {2(d-D)(L-2h)}{L^{2}}}\right){\Bigg ]}\\\ &+{\frac {\pi d^{2}}{4}}\end{aligned}}}$

• Tonneau couché

La génératrice est la parabole.

La corde ${\displaystyle c}$ au point d'abscisse ${\displaystyle x}$ s'exprime par :

${\displaystyle c={\sqrt {4y^{2}-(D-2h)^{2}}}}$

Si ${\displaystyle h\leq {\frac {D-d}{2}}}$,

${\displaystyle S=\int _{0}^{x_{1}}2c\ \mathrm {d} x}$

Si ${\displaystyle {\frac {D-d}{2}}\leq h\leq {\frac {D+d}{2}}}$, alors

${\displaystyle S=\int _{0}^{\frac {L}{2}}2c\ \mathrm {d} x}$

Si ${\displaystyle h\geq {\frac {D+d}{2}}}$, alors

${\displaystyle S=\int _{0}^{x_{2}}2c\ \mathrm {d} x}$

• Tonneau debout

La génératrice est la parabole

${\displaystyle 0<h<L}$

${\displaystyle S=\pi y^{2}=\pi \left({\frac {2(d-D)}{L^{2}}}\left({\frac {L}{2}}-h\right)^{2}+{\frac {D}{2}}\right)^{2}}$

Si ${\displaystyle h=0}$ le tonneau est vide, et si ${\displaystyle h=L}$ le tonneau est plein.

• Grand dictionnaire universel du XIX^e siècle par Pierre Larousse, à l'article Tonneau.
• Quadrature, magazine de mathématiques pures et épicées, n^o 75, janvier-mars 2010, EDP Sciences. Le jaugeage des tonneaux : un jardin secret en mathématiques pures et appliquées, par François Jongmans.

• Site perso de Michel Berteau - Volume du tonneau
• Règles à calcul
• Encyclopédie ou Dictionnaire universel raisonné des connoissances humaines, Fortuné Barthélemy de Félice, 1773, volume 24, à l'article Jaugeage.

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