Théorème d'Ostrowski
En mathématiques, le théorème d'Ostrowski est un théorème de théorie des nombres démontré en 1916 par Alexander Ostrowski, d'après lequel toute valeur absolue non triviale sur le corps ℚ des rationnels est équivalente soit à la valeur absolue usuelle, soit à l'une des valeurs absolues p-adiques.
Plus précisément et plus généralement[1], le théorème d'Ostrowski énonce que les seules valeurs absolues non ultramétriques sur un corps K sont (s'il en existe) les applications de la forme x ↦ |f(x)|c, où f est un plongement de K dans le corps des complexes, et 0 < c ≤ 1. Or les valeurs absolues ultramétriques sur K sont celles induites par une valuation réelle, et pour K = ℚ les valuations réelles sont les valuations p-adiques.
Valeur absolue
[modifier | modifier le code]Soit K un corps. Une valeur absolue sur K est une application | ∙ | de K dans l'ensemble des réels positifs, vérifiant :
L'application (x, y) ↦ |y – x| est alors une distance sur K.
Si la valeur absolue vérifie la condition plus forte que la condition 3, alors la valeur absolue est dite ultramétrique.
Valeur absolue triviale
[modifier | modifier le code]La valeur absolue triviale | ∙ |0 sur un corps est définie par
Valeur absolue usuelle
[modifier | modifier le code]La valeur absolue usuelle | ∙ |∞ sur ℚ est définie par
Valeur absolue p-adique
[modifier | modifier le code]Pour un nombre premier p fixé, tout rationnel non nul x s'écrit de manière unique sous la forme où , sont des entiers relatifs, est un entier strictement positif tels que et sont premiers entre eux, et ne divise ni ni .
L'entier n est la valuation p-adique de x. La valeur absolue p-adique | ∙ |p sur ℚ est alors définie par
Elle est ultramétrique.
Valeurs absolues équivalentes
[modifier | modifier le code]Deux valeurs absolues sur un corps K sont dites équivalentes lorsque les distances associées sont topologiquement équivalentes. Elles sont alors puissance l'une de l'autre avec un exposant strictement positif.
Théorème d'Ostrowski
[modifier | modifier le code]Théorème[2] — Toute valeur absolue non triviale sur ℚ est équivalente à la valeur absolue usuelle | ∙ |∞ ou à l'une des valeurs absolues p-adiques | ∙ |p où p est un nombre premier.
Complétés du corps des nombres rationnels
[modifier | modifier le code]Le théorème d'Ostrowski montre qu'il n'existe que deux types de complétés du corps ℚ. Si l'on prend une valeur absolue équivalente à la valeur absolue usuelle, on construira un corps isomorphe à ℝ. On pourra consulter la construction des nombres réels pour plus d'information.
Si l'on complète le corps ℚ par une valeur absolue p-adique, on obtient des corps complets très différents de celui des réels : les corps p-adiques. Cela ouvre les portes de l'analyse p-adique.
Notes et références
[modifier | modifier le code]- Jean-Pierre Serre, Corps locaux [détail des éditions], p. 36.
- (de) Alexander Ostrowski, « Über einige Lösungen der Funktionalgleichung », Acta Mathematica, vol. 41, no 1, , p. 271-284 (DOI 10.1007/BF02422947).
Voir aussi
[modifier | modifier le code]Bibliographie
[modifier | modifier le code]- (en) Gerald J. Janusz, Algebraic Number Fields, AMS, , 2e éd., 276 p. (ISBN 978-0-8218-0429-2, lire en ligne)
- (en) Nathan Jacobson, Basic Algebra : II, vol. II, W. H. Freeman, , 2e éd., 686 p. (ISBN 978-0-7167-1933-5)
Liens externes
[modifier | modifier le code]- Abdellah Bechata, « Une démonstration du théorème d'Ostrowski »
- (en) Keith Conrad, « Ostrowski for number fields »
- (en) Keith Conrad, « Ostrowski's theorem for F(T) »