Règle de Cauchy

En mathématiques, la règle de Cauchy, qui doit son nom au mathématicien français Augustin Cauchy, est un critère de convergence pour une série à termes réels ou complexes, ou plus généralement à termes dans un espace vectoriel normé.

Cette règle est parfois confondue avec le « critère de Cauchy » selon lequel, dans un espace complet comme ℝ ou ℂ, toute suite de Cauchy converge.

Énoncé

La règle de Cauchy^[1] donne un critère de convergence pour une série de terme général $x n$ dans un espace vectoriel normé, en fonction de la limite supérieure^[2]

p=\limsup _{n\to +\infty }{\sqrt[{n}]{\left\|x_{n}\right\|}}

.

La série est :

absolument convergente si $p < 1$ , donc convergente si l'espace est de Banach c'est-à-dire complet ;
grossièrement divergente si $p > 1$ , c'est-à-dire que la suite $(x n)$ ne tend même pas vers 0.

Si $p = 1$ , il y a indécidabilité à défaut d'informations supplémentaires.

La règle s'applique en particulier pour des séries dans ℝ (où la norme est la valeur absolue) ou dans ℂ (où la norme est le module) ou même dans ℝⁿ ou ℂⁿ, complets pour n'importe quelle norme.

Cas p = 1

La série harmonique qui diverge et la série harmonique alternée qui converge vers $ln(2)$ sont deux exemples pour lesquels la limite des $║ x n ║ 1/ n$ — et pas seulement la limite supérieure — vaut 1, car $(1/ n)ln(1/ n)$ tend vers 0.

On montre encore que les réciproques des deux premières propriétés sont fausses :

la série de Dirichlet de terme général $x n = n$ ⁻² est absolument convergente vers $ζ(2)$ alors que pour elle, la limite vaut 1 ;
la série de terme général $x n = (-1) n$ diverge grossièrement alors que pour elle, la limite vaut aussi 1.

Lien avec la règle de d'Alembert

Article détaillé : Règle de d'Alembert.

Ce critère de convergence est très proche de celui de d'Alembert, qui spécifie dans sa forme la plus précise que la série de terme général $x n$ :

converge absolument dès que $lim sup (║ x n +1 ║/║ x n ║) < 1$ ;
diverge grossièrement dès que $lim inf (║ x n +1 ║/║ x n ║) > 1$ .

La règle de Cauchy lui est légèrement supérieure de deux points de vue :

stricto sensu, le critère de d'Alembert ne s'applique qu'à une série sans terme nul. On peut toujours sans problème se ramener à ce cas, mais il n'est pas nécessaire de prendre cette précaution avec celui de Cauchy ;
le cas douteux de la règle de d'Alembert est légèrement plus vaste que celui de celle de Cauchy : chaque fois que la règle de d'Alembert conclut quelque chose, celle de Cauchy arrive à la même conclusion, puisqu'il est vrai en général que $\liminf {\tfrac {\|x_{n+1}\|}{\|x_{n}\|}}\leq \limsup {\sqrt[{n}]{\|x_{n}\|}}\leq \limsup {\tfrac {\|x_{n+1}\|}{\|x_{n}\|}}.$ En revanche, il existe des exemples pour lesquels la règle de Cauchy conclut, mais pas celle de d'Alembert^[3].

Notes et références

↑ Pour une démonstration, voir par exemple « Règle de Cauchy » dans la leçon sur les séries numériques sur Wikiversité.
↑ Augustin Louis Cauchy, Cours d'analyse de l'École royale polytechnique, 1re partie. Analyse algébrique, 1821 (lire en ligne), p. 132.
↑ Gilles Costantini, « Règles de d'Alembert et de Cauchy pour les séries à termes réels positifs » (version du 2 avril 2015 sur Internet Archive).

Articles connexes

Portail de l'analyse

[1] Pour une démonstration, voir par exemple « Règle de Cauchy » dans la leçon sur les séries numériques sur Wikiversité.

[2] Augustin Louis Cauchy, Cours d'analyse de l'École royale polytechnique, 1re partie. Analyse algébrique, 1821 (lire en ligne), p. 132.

[3] Gilles Costantini, « Règles de d'Alembert et de Cauchy pour les séries à termes réels positifs » (version du 2 avril 2015 sur Internet Archive).

[1]

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