Nombre pyramidal

En arithmétique géométrique, un nombre pyramidal est un nombre figuré polyédrique représenté par une pyramide dont la base, un polygone régulier, représente un nombre polygonal. La pyramide est formée de couches représentant des nombres polygonaux successifs.

Pour tous entiers ${\displaystyle k\geqslant 3}$ et ${\displaystyle n\geqslant 3}$, le ${\displaystyle n}$-ième nombre ${\displaystyle k}$-pyramidal est donc^[1] la somme des nombres ${\displaystyle k}$-gonaux d'indices 1 à ${\displaystyle n}$ :

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{n}^{(k)}&=\sum _{i=1}^{n}P_{k,i}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {(k-2)i^{2}-(k-4)i}{2}}\\&={\frac {1}{2}}\left((k-2){\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}-(k-4){\frac {n(n+1)}{2}}\right)\\&={\frac {n(n+1)}{2}}{\frac {(k-2)n-(k-5)}{3}}.\end{aligned}}}$

On a la relation : ${\displaystyle P_{n}^{(k)}=P_{n}^{(k-1)}+{\frac {n(n-1)(n+1)}{6}}=P_{n}^{(k-1)}+P_{n-1}^{(3)}}$^[2], dont on déduit ${\displaystyle P_{n}^{(k)}=(k-3)P_{n-1}^{(3)}+P_{n}^{(3)}=(k-3){\binom {n+1}{3}}+{\binom {n+2}{3}}}$ ;

${\displaystyle P_{n}^{(3)}}$ est le ${\displaystyle n}$-ième nombre tétraédrique.

Nombre pyramidal	Somme de	Formule	Les dix premiers nombres	Numéro OEIS
Nombre pyramidal triangulaire, ou nombre tétraédrique	nombres triangulaires	${\displaystyle P_{n}^{(3)}={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}}$	1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220	suite A000292 de l'OEIS
Nombre pyramidal carré	nombres carrés	${\displaystyle P_{n}^{(4)}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}}$	1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385	suite A000330 de l'OEIS
Nombre pyramidal pentagonal	nombres pentagonaux	${\displaystyle P_{n}^{(5)}={\frac {n^{2}(n+1)}{2}}}$	1, 6, 18, 40, 75, 126, 196, 288, 405, 550	suite A002411 de l'OEIS
Nombre pyramidal hexagonal	nombres hexagonaux	${\displaystyle P_{n}^{(6)}={\frac {n(n+1)(4n-1)}{6}}}$	1, 7, 22, 50, 95, 161, 252, 372, 525, 715	suite A002412 de l'OEIS
Nombre pyramidal heptagonal	nombres heptagonaux	${\displaystyle P_{n}^{(7)}={\frac {n(n+1)(5n-2)}{6}}}$	1, 8, 26, 60, 115, 196, 308, 456, 645, 880	suite A002413 de l'OEIS

• Nombre pyramidal centré

• Arithmétique et théorie des nombres