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Loi exponentielle

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Loi exponentielle
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Densité de probabilité

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Fonction de répartition

Paramètres intensité ou inverse de l'échelle (réel)
Support
Densité de probabilité
Fonction de répartition
Espérance
Médiane
Mode
Variance
Asymétrie
Kurtosis normalisé
Entropie
Fonction génératrice des moments
Fonction caractéristique

En théorie des probabilités et en statistiques, la loi exponentielle est une loi de probabilité à valeurs réelles positives et continue sur . Elle présente des liens avec d'autres lois de probabilités, dont les lois Gamma, de Weibull, géométrique, d'Erlang ou encore hypo-exponentielle.

Une loi exponentielle modélise la durée de vie d'un phénomène sans mémoire, ou sans vieillissement, ou sans usure : la probabilité que le phénomène dure au moins heures (ou n'importe quelle autre unité de temps) sachant qu'il a déjà duré heures sera la même que la probabilité de durer heures à partir de sa mise en fonction initiale. En d'autres termes, le fait que le phénomène ait duré pendant heures ne change rien à son espérance de vie à partir du temps .

Plus formellement, soit une variable aléatoire définissant la durée de vie d'un phénomène, d'espérance mathématique . On suppose que :

Alors, la densité de probabilité de est définie par :

  • si  ;
  • pour tout .

et on dit que suit une loi exponentielle de paramètre (ou d'intensité) . Réciproquement, une variable aléatoire ayant cette loi vérifie la propriété d'être sans mémoire.

Cette loi permet entre autres de modéliser la durée de vie d'un atome radioactif ou d'un composant électronique. Elle peut aussi être utilisée pour décrire par exemple le temps écoulé entre deux coups de téléphone reçus au bureau, ou le temps écoulé entre deux accidents de voiture dans lequel un individu donné est impliqué.

Définition

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Densité de probabilité

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La densité de probabilité de la distribution exponentielle de paramètre prend la forme :

La distribution a pour support l'intervalle .

Fonction de répartition

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La fonction de répartition est donnée par :

Le quantile d'ordre d'une variable aléatoire distribuée selon une loi exponentielle de paramètre est donné par[1] :

Espérance, variance, écart type, médiane

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Densité d'une durée de vie d'espérance 10 de loi exponentielle ainsi que sa médiane.

Soit une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre .

Nous savons, par construction, que l'espérance mathématique de est .

On calcule la variance en intégrant par parties ; on obtient : .

L'écart type est donc .

La médiane, c'est-à-dire le temps tel que , est .

Démonstrations

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Le fait que la durée de vie soit sans vieillissement se traduit par l'égalité suivante :

Par le théorème de Bayes on a :

En posant la probabilité que la durée de vie soit supérieure à , on trouve donc :

Puisque la fonction est monotone et bornée, cette équation implique que est une fonction exponentielle. Il existe donc réel tel que pour tout  :

Notons que est négatif, puisque est inférieure à . La densité de probabilité est définie, pour tout , par :

Le calcul de l'espérance de , qui doit valoir conduit à l'équation :

On calcule l'intégrale en intégrant par parties ; on obtient :

Donc

et

Propriétés importantes

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Absence de mémoire

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Une propriété importante de la distribution exponentielle est la perte de mémoire ou absence de mémoire. Cette propriété se traduit mathématiquement par l'équation suivante :

Imaginons que représente la durée de vie d'une ampoule à LED avant qu'elle ne tombe en panne : la probabilité qu'elle dure au moins heures sachant qu'elle a déjà duré heures sera la même que la probabilité de durer heures à partir de sa mise en fonction initiale. En d'autres termes, le fait qu'elle ne soit pas tombée en panne pendant heures ne change rien à son espérance de vie à partir du temps . Il est à noter que la probabilité qu'une ampoule « classique » (à filament) tombe en panne ne suit une loi exponentielle qu'en première approximation, puisque le filament s'évapore lors de l'utilisation, et vieillit.

Loi du minimum de deux lois exponentielles indépendantes

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Si les variables aléatoires , sont indépendantes et suivent deux lois exponentielles de paramètres respectifs , , alors est une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre .

Loi d'entropie maximale

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Parmi les lois de probabilités continues de support positif et de moyenne , la loi exponentielle de paramètre a la plus grande entropie différentielle. En d'autres termes, c'est la loi de probabilité d'entropie maximale pour une variable aléatoire positive d'espérance fixée[2].

Champ d'application

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Radioactivité

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Un domaine privilégié de la loi exponentielle est le domaine de la radioactivité (Rutherford et Soddy). Chaque atome radioactif possède une durée de vie qui suit une loi exponentielle. Le paramètre s'appelle alors la constante de désintégration.

La durée de vie moyenne s'appelle le temps caractéristique.

La loi des grands nombres permet de dire que la concentration d'atomes radioactifs va suivre la même loi. La médiane correspond au temps nécessaire pour que la population passe à 50 % de sa population initiale et s'appelle la demi-vie ou période.

Électronique et files d'attente

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On modélise aussi fréquemment la durée de vie d'un composant électronique par une loi exponentielle. La propriété de somme (voir la section #Loi Gamma) permet de déterminer l'espérance de vie d'un système constitué de deux composants en série.

En théorie des files d'attente, l'arrivée de clients dans une file est souvent modélisée par une loi exponentielle, par exemple dans le modèle de la file M/M/1.

Physique nucléaire

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En physique nucléaire, l'interaction d'une particule traversant un milieu avec celui-ci est décrite par une loi exponentielle. La probabilité d'interaction par unité de longueur d'une particule avec les atomes du milieu est donnée par la section efficace macroscopique , avec la densité volumique d'atomes et la section efficace microscopique.

Si est la variable aléatoire représentant la distance parcourue par la particule jusqu'à ce qu'elle interagisse avec un atome, la probabilité d'atteindre une distance est la conjonction de deux événements que l'on suppose indépendants :

  • la particule a parcourue la distance sans être absorbée, la probabilité de cet événement étant notée ;
  • la particule n'a pas été absorbée lors de la traversée de la tranche élémentaire du milieu, la probabilité de cet événement étant .

Du fait de l'hypothèse d'indépendance, la probabilité recherchée est donc :

En passant à la limite

Puisque , cette équation différentielle linéaire d'ordre un à coefficient constant admet pour solution :

Soit encore

ce qui est la fonction de répartition d'une loi exponentielle de paramètre . Par suite, l'espérance de cette loi

est aussi appelée libre parcours moyen de la particule dans le milieu.

Lien avec d'autres lois

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Loi géométrique

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La loi géométrique est une version discrétisée de la loi exponentielle. En conséquence, la loi exponentielle est une limite de lois géométriques renormalisées.

Propriété — Si X suit la loi exponentielle d'espérance 1, et si alors Y suit la loi géométrique de paramètre

Notons que, pour un nombre réel x, désigne la partie entière supérieure de x, définie par

En choisissant

on fabrique ainsi, à partir d'une variable aléatoire exponentielle de paramètre une variable aléatoire

suivant une loi géométrique de paramètre arbitraire (avec toutefois la contrainte ), car suit alors une loi exponentielle de paramètre 1 (et d'espérance 1).

Réciproquement,

Propriété — Si, pour , la variable aléatoire Yn suit la loi géométrique de paramètre pn, et si

alors anYn converge en loi vers la loi exponentielle de paramètre λ.

On peut voir ces différentes convergences comme de simples conséquences de la convergence du schéma de Bernoulli vers le processus de Poisson.

Loi de Weibull

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La loi exponentielle est une loi de Weibull avec un facteur de forme (ou ) de 1.

La loi exponentielle est une loi Gamma de paramètres et .

En particulier, du fait des propriétés de la loi Gamma, si on dispose de variables aléatoires réelles i.i.d. suivant chacune une loi exponentielle de paramètre , leur somme suit une loi Gamma de paramètres et  :

Notes et références

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  1. « Fonction quantile (cours) », sur mistis.inrialpes.fr
  2. (en) Sung Y. Park et Anil K. Bera, « Maximum entropy autoregressive conditional heteroskedasticity model », Journal of Econometrics, Elsevier, vol. 150, no 2,‎ , p. 219–230 (DOI 10.1016/j.jeconom.2008.12.014)

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Articles connexes

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