En statistique, selon le lemmede Neyman-Pearson, lorsque l'on veut effectuer un test d'hypothèse entre deux hypothèses H0 : θ = θ0 et H1 : θ = θ1, pour un échantillon , alors le test du rapport de vraisemblance, qui rejette H0 en faveur de H1 lorsque , où est tel que
En pratique, la plupart du temps, le rapport de vraisemblance lui-même n'est pas explicitement utilisé dans le test. En effet, le test du rapport de vraisemblance ci-dessus est souvent équivalent à un test de la forme pour une statistique plus simple, et le test est effectué sous cette forme-ci.
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Théorème : La région de rejet optimale est définie par l'ensemble des points tels que
où la constante est telle que . À noter qu'on a les relations suivantes :
où est l'échantillon.
Démonstration :
Montrons tout d'abord que lorsque est une densité bornée, il existe toujours une constante telle que
.
En effet, lorsque , cette probabilité vaut 1. D'autre part, cette probabilité décroit monotonément et continument vers zéro, lorsque . Par conséquent, il doit exister une valeur finie de , appelée , qui satisfait l'égalité, .
Désignons alors par , le sous-ensemble de suivant,
,
et soit une autre partie de , telle que .
Montrons que :
La première intégrale vaut par construction, la deuxième est majorée par , on obtient:
↑(en) J. Neyman et E. S. Pearson, « IX. On the problem of the most efficient tests of statistical hypotheses », Phil. Trans. R. Soc. Lond. A, vol. 231, nos 694-706, , p. 289–337 (ISSN0264-3952, DOI10.1098/rsta.1933.0009, lire en ligne)