Fonction de von Mangoldt

En mathématiques, la fonction de von Mangoldt est une fonction arithmétique nommée en l'honneur du mathématicien allemand Hans von Mangoldt.

La fonction de von Mangoldt, traditionnellement notée ${\displaystyle \Lambda }$, est définie sur ${\displaystyle \mathbb {N} ^{*}}$ par

${\displaystyle \Lambda (n)={\begin{cases}\ln p&{\text{si }}n=p^{k}{\text{ pour un nombre premier }}p{\mbox{ et un entier }}k\geq 1,\\0&{\text{sinon.}}\end{cases}}}$

Cette importante fonction arithmétique n'est ni multiplicative, ni additive.

Elle satisfait l'identité^[1]

${\displaystyle \ln n=\sum _{d\mid n}\Lambda (d)}$ ou, ce qui est équivalent, ${\displaystyle \Lambda (n)=-\sum _{d\mid n}\mu (d)\ln(d)}$,

où les sommes sont prises sur tous les entiers naturels d qui divisent n et où ${\displaystyle \mu }$ désigne la fonction de Möbius.

La « fonction sommatoire de von Mangoldt » ${\displaystyle \psi }$, aussi connue comme la deuxième fonction de Tchebychev, est définie par

${\displaystyle \psi (x):=\sum _{p^{k}\leq x}\ln p=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)=\sum _{p\leq x}\lfloor \log _{p}x\rfloor \ln p}$.

Von Mangoldt a fourni une preuve rigoureuse d'une formule explicite (en) pour ${\displaystyle \psi (x)\,}$, impliquant une somme sur les zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann^[2]. Ce fut une partie importante de la première démonstration du théorème des nombres premiers, qui équivaut à ${\displaystyle \psi (x)\sim x\quad (x\to +\infty )}$.

La fonction de von Mangoldt joue un rôle important dans la théorie des séries de Dirichlet, en particulier la fonction zêta de Riemann. Son logarithme est

${\displaystyle \log \zeta (s)=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{\ln n}}\,{\frac {1}{n^{s}}}}$

pour ${\displaystyle \Re (s)>1}$. Sa dérivée logarithmique est donc :

${\displaystyle {\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}}}}$.

Plus généralement^[3], sur le demi-plan de convergence d'une série de Dirichlet ${\displaystyle F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}}$, on a

${\displaystyle F'(s)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}\ln n=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}\sum _{d\mid n}\Lambda (d)}$ et si ${\displaystyle f}$ est complètement multiplicative, on en déduit

${\displaystyle F'(s)=-F(s)\sum _{d=1}^{\infty }{\frac {f(d)\Lambda (d)}{d^{s}}}}$.

La transformation de Mellin de la fonction de Tchebychev peut être trouvée en appliquant la formule sommatoire d'Abel :

${\displaystyle {\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}=-s\int _{1}^{\infty }{\frac {\psi (x)}{x^{s+1}}}\,{\rm {d}}x}$

qui reste vraie pour ${\displaystyle \Re (s)>1}$.

L'équivalent ${\displaystyle \psi (x)\sim x}$ (voir supra) se réécrit :

${\displaystyle \sum _{n\leq x}\left(\Lambda (n)-1\right)=o(x)}$.

Hardy et Littlewood ont examiné la série^[4]

${\displaystyle F(y)=\sum _{n=2}^{\infty }\left(\Lambda (n)-1\right)\mathrm {e} ^{-ny}}$.

Ils ont démontré sous l'hypothèse de Riemann que

${\displaystyle F(y)=O\left({\sqrt {\frac {1}{y}}}\right)\ (y\to 0)}$

et que

${\displaystyle F(y)=\Omega _{\pm }\left({\sqrt {\frac {1}{y}}}\right)\ (y\to 0)}$.

Ainsi (si l'hypothèse de Riemann est vraie) cette fonction est oscillatoire, avec des oscillations divergentes: il existe une valeur ${\displaystyle K>0}$ telle que chacune des inégalités

${\displaystyle F(y)<-{\frac {K}{\sqrt {y}}}}$ et ${\displaystyle F(z)>{\frac {K}{\sqrt {z}}}}$

est vraie infiniment souvent dans chaque voisinage de 0. Le graphe sur la droite montre que ce comportement n'est pas facile à illustrer : les oscillations ne sont clairement visibles que lorsque les 100 premiers millions de termes de la série ont été sommés, et pour ${\displaystyle y<10^{-5}}$.

La moyenne de Riesz de la fonction de von Mangoldt est donnée par

${\displaystyle \sum _{n\leq \lambda }\left(1-{\frac {n}{\lambda }}\right)^{\delta }\Lambda (n)}$

${\displaystyle =-{\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\int _{c-\mathrm {i} \infty }^{c+\mathrm {i} \infty }{\frac {\Gamma (1+\delta )\Gamma (s)}{\Gamma (1+\delta +s)}}{\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}\lambda ^{s}ds}$

${\displaystyle ={\frac {\lambda }{1+\delta }}+\sum _{\rho }{\frac {\Gamma (1+\delta )\Gamma (\rho )}{\Gamma (1+\delta +\rho )}}+\sum _{n}c_{n}\lambda ^{-n}}$.

Ici, ${\displaystyle \lambda }$ et ${\displaystyle \delta }$ sont des nombres caractérisant la moyenne de Riesz. On doit prendre ${\displaystyle c>1}$. La somme sur ${\displaystyle \rho }$ est la somme sur les zéros de la fonction zêta de Riemann, et on peut montrer que la série ${\displaystyle \sum _{n}c_{n}\lambda ^{-n}}$ converge pour ${\displaystyle \lambda >1}$.

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