Famille de Sperner

Cette preuve est due à Lubell^[2]. Soit s_k le nombre d'ensembles à k éléments de S. Pour tout 0 ≤ k ≤ n,

${\displaystyle {n \choose \lfloor {n/2}\rfloor }\geqslant {n \choose k}}$

et donc,

${\displaystyle {s_{k} \over {n \choose \lfloor {n/2}\rfloor }}\leqslant {s_{k} \over {n \choose k}}.}$

Comme S est une antichaîne, on peut sommer les précédentes inégalités de k = 0 à n et ensuite appliquer l'inégalité de Lubell-Yamamoto-Meshalkin pour obtenir

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{s_{k} \over {n \choose \lfloor {n/2}\rfloor }}\leqslant \sum _{k=0}^{n}{s_{k} \over {n \choose k}}\leqslant 1,}$

ce qui s'écrit

${\displaystyle |S|=\sum _{k=0}^{n}s_{k}\leqslant {n \choose \lfloor {n/2}\rfloor }}$.