Discussion:Théorème de Laguerre

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Bonjour,

L'énoncé actuel du théorème de Laguerre est bigrement dévalorisant pour celui-ci compte tenu de sa portée effective. En disant "Si P(x) est un polynôme de degré n, ayant n racines réelles, alors ces racines sont toutes dans l'intervalle [u,v]... " il incite à penser que son champ d'application est limité à l'ensemble des réels.

En réalité(*) l'équation du 2ème degré qui fournit les bornes de cet intervalle [u,v] s'applique tout aussi efficacement aux polynômes ayant n racines complexes ou réelles y compris dans le cas de polynômes à coefficients complexes.

Il serait donc préférable de remplacer cet énoncé par "Si P(x) ou P(z) est un polynôme de degré n, à coefficients complexes ou réels, et ayant n racines complexes ou réelles, alors ces racines sont toutes dans l'intervalle [u,v] où u et v sont les racines de l'équation du second degré suivante", la suite du texte pouvant rester inchangée.

(*) Comme preuve ceci m'a permis de mettre au point un logiciel qui fournit de façon récurrente toutes les racines de tels polynômes à partir des bornes u,v considérées comme valeurs approchées des racines extrêmes du polynôme initialement de degré n ... et dont la résolution passe au degré n-2 à chaque boucle intermédiaire. En fait tout se comporte comme si les nombres réels n'étaient, après tout, que des nombres complexes dont la partie imaginaire est nulle. Je tiens ce logiciel à la disposition de toute personne curieuse.

Salutations distinguées. — Le message qui précède, non signé, a été déposé par un utilisateur sous l’IP 82.67.36.31 (discuter), le 3/4/2007.

Bonjour, à vrai dire, ce n'est pas la forme la plus générale du Théorème de Laguerre, celle ci s'énnonce comme suit :

Théorème de Laguerre : Soit p(z) un polynôme de degré n (peut importe les coefficients et les variables). Tout cercle passant par z et z-n{p(z)/p'(z)}, ou bien il passe par tous les zéros de p ou bien au moins un zéro de p est dans la composante connexe bornée par ce cercle et au moins un zéro de p dans la composante non bornée.

— Le message qui précède, non signé, a été déposé par un utilisateur sous l’IP 174.91.197.247 (discuter), le 27/1/2012.

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