Discussion:Constante limite de Laplace

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--Guerinsylvie (discuter) 17 mars 2019 à 17:26 (CET) : Juste pour préciser ce qui est indiqué dans l'article :[répondre]

L = max t/ch(t) pour une valeur de t égale à a ,

soit après un petit calcul,

${\displaystyle L={\frac {a}{ch(a)}}={\frac {1}{sh(a)}}}$

donc

${\displaystyle L={\frac {a}{ch(a)}}={\frac {1}{sh(a)}}={\frac {a+1}{exp(a)}}=(a+1)e^{-a}}$

et aussi

${\displaystyle L^{2}={\frac {a^{2}}{ch^{2}(a)}}={\frac {1}{sh^{2}(a)}}={\frac {a^{2}-1}{1}}=a^{2}-1}$

donc au total,

${\displaystyle L=(a+1)e^{-a}=(a-1)e^{a}=ach(a)-sh(a)={\frac {a}{ch(a)}}={\frac {1}{sh(a)}}}$

[et bien sûr, en passant au gudermannien, ${\displaystyle sh(a)=tan(\alpha )}$,(ou bien ${\displaystyle L=1/sh(a)=tan(\beta )}$), on aura alpha = 56° 28' = 0.9855 rd ; ainsi que son complémentaire beta ~33°33'~0.5853 rd]

Bien sûr, d'autres fois , on trouvera ${\displaystyle 1/L=1.50888...={\frac {ch(a)}{a}}=...}$ et ${\displaystyle 1/a=0.833557...}$ ; et ${\displaystyle L/a=0.552434}$ ; ${\displaystyle a/L=1.801170}$

Cette ubiquitous value de L ( donc de a ) la rend courante dans d'autres situations. Un des exemples est : en capillarité ( tension superficielle ) , dans l'expérience de la caténoïde , la distance maximale d entre anneaux de diamètre D est telle que d/D = L ( cf Mathworld capillarité ), le rayon de gorge du waist = (L/a)R = 0.552.R , ce qui permet de construire la figure du diabolo de Laplace-Plateau, AA'BB' , les diagonales AB' et BA' étant tangentes à la méridienne de la caténoïde , as usual.

Je ne vois pas ce que la règle de L'Hôpital vient faire dans une recherche d'extremum.

${\displaystyle {\frac {t}{\cosh t}}}$ atteint son max, ${\displaystyle L={\frac {a}{\cosh a}}}$, pour ${\displaystyle \cosh a=a\sinh a}$, donc (évidemment) ${\displaystyle L={\frac {1}{\sinh a}}}$, etc.

Anne, 21 h 40

--Guerinsylvie (discuter) 25 juillet 2019 à 16:54 (CEST)Bonjour Anne, I agree with you ; je ne sais comment appeler cette astuce de term-S : au point a du maximum L, f'/g' = f/ g = L_max ( en fait on dérive logarithmiquement f'/f - g'/g , et puis on ré-agence les termes, on appelait cela "astuce de L'Hopital") ( mais je m'en fous ). Soit! Votre calcul est moins compact ; mais ok, c'est tellement simple.[répondre]