| prop-fr:contenu
|
- En effet, dans ce cas, il existe dans l'anneau deux éléments a et b n'appartenant pas à I mais dont le produit appartient à I. Les idéaux J=I+ et K=I+ contiennent alors strictement I, tandis que le produit J.K est inclus dans I. (fr)
- En effet, il existe dans ce cas a élément de J non éléments de I. Alors a.b est un élément de J.K qui ne peut être élément de I car I est premier.
* Si I n'est pas premier alors il existe deux idéaux J et K tels que I contienne le produit J.K mais soit strictement contenu dans J et K : (fr)
- I est premier si et seulement si A/I est intègre, c'est-à-dire si et seulement siMais dire que . est nul dans A/I revient à dire que a.b appartient à I, et de même, dire que a ou b est de classe nulle revient à dire qu'il appartient à I. On en déduit la première caractérisation des idéaux premiers.
* Si I est premier et ne contient ni l'idéal J, ni l'idéal K, alors il ne contient pas leur produit : (fr)
- On démontre une boucle d'implications 1 ⇒ 2 ⇒ 3 ⇒ 4 ⇒ 1, dont nous détaillerons seulement les deux plus délicates.
* 2 ⇒ 3 : soient a et b deux éléments de A tels que p = ab, alors 2 nous apprend que p divise soit a soit b, en conséquence p est associé soit à a soit à b et l'autre facteur est inversible.
* 3 ⇒ 4 : tout idéal contenant est engendré par un diviseur de p, donc est engendré soit par 1, soit par p. En conséquence, les deux seuls idéaux contenant sont A et , ce qui est la définition d'un idéal maximal. (fr)
- Soit I un idéal propre , autrement dit A/I est différent de l'anneau nul.
* Première caractérisation : (fr)
- En effet, dans ce cas, il existe dans l'anneau deux éléments a et b n'appartenant pas à I mais dont le produit appartient à I. Les idéaux J=I+ et K=I+ contiennent alors strictement I, tandis que le produit J.K est inclus dans I. (fr)
- En effet, il existe dans ce cas a élément de J non éléments de I. Alors a.b est un élément de J.K qui ne peut être élément de I car I est premier.
* Si I n'est pas premier alors il existe deux idéaux J et K tels que I contienne le produit J.K mais soit strictement contenu dans J et K : (fr)
- I est premier si et seulement si A/I est intègre, c'est-à-dire si et seulement siMais dire que . est nul dans A/I revient à dire que a.b appartient à I, et de même, dire que a ou b est de classe nulle revient à dire qu'il appartient à I. On en déduit la première caractérisation des idéaux premiers.
* Si I est premier et ne contient ni l'idéal J, ni l'idéal K, alors il ne contient pas leur produit : (fr)
- On démontre une boucle d'implications 1 ⇒ 2 ⇒ 3 ⇒ 4 ⇒ 1, dont nous détaillerons seulement les deux plus délicates.
* 2 ⇒ 3 : soient a et b deux éléments de A tels que p = ab, alors 2 nous apprend que p divise soit a soit b, en conséquence p est associé soit à a soit à b et l'autre facteur est inversible.
* 3 ⇒ 4 : tout idéal contenant est engendré par un diviseur de p, donc est engendré soit par 1, soit par p. En conséquence, les deux seuls idéaux contenant sont A et , ce qui est la définition d'un idéal maximal. (fr)
- Soit I un idéal propre , autrement dit A/I est différent de l'anneau nul.
* Première caractérisation : (fr)
|
