Relaatio

Relaatio on erilaisuussuhde kahden asian välillä. Monesti relaatio tarkoittaa kahden suureen, esimerkiksi painon ja koon riippuvuutta toisistaan.

Esimerkkejä:

Marko on Matin isä. Tässä relaatio on "x on y:n isä" ja x ja y ovat esimerkiksi ihmisiä.
Pallo on punainen. Relaatio "X on Y:n värinen" ja X on jokin esine tai asia ja Y on väri.
Mikko on pitempi kuin Merja. Relaatio "on pitempi kuin".
Luku kaksi on suurempi kuin yksi, 2 > 1. Relaatio "x on suurempi kuin y", missä x ja y ovat reaalilukuja.

Kuvassa joukon X={1, 2, 3} ja joukon Y={a, b, c, d} välillä on relaatio, joka liittää X:n alkioita Y:n alkioihin:

1→D, 2→B, 3→A, missä relaatiota on merkitty symbolilla →.

Relaatiotyyppejä

Yksi-yhteen: 1) jos x:llä on tietty relaatio y:hyn, eikä muilla x' ole samaa relaatiota y:hyn, ja 2) x:llä ei ole samaa relaatiota mihinkään y' . Esimerkiksi länsimaissa miehellä (x) on yksi vaimo (y), ja päinvastoin. Mikään muu mies (x ') ei voi olla saman vaimon (y) aviomies, eikä tämä aviomies (x) voi olla kenenkään muun naisen (y ') kanssa naimisissa.
Yksi-moneen: Jos yllä olevasta vain ensimmäinen ehto täyttyy.
Moni-yhteen: Jos yllä olevasta vain toinen ehto täyttyy. ^[1]

Matemaattinen relaatio

Yllä olevissa esimerkeissä relaatiot olivat kaksipaikkaisia eli binäärisiä. Määritellään siis ensin binäärirelaatio:

Olkoot X ja Y epätyhjiä joukkoja. Niiden karteesisen tulon X × Y = { (x, y) | x ∈ X ja y ∈ Y} osajoukkoa R kutsutaan binäärirelaatioksi joukoissa X ja Y. Jos pari (x, y) kuuluu joukkoon R eli (x, y) ∈ R, niin merkitään x R y tai R(x, y) ja sanotaan, että alkio x on relaatiossa R alkion y kanssa.

Esimerkkejä binäärisistä relaatioista ovat relaatiot "<" ja "=" reaalilukujen joukossa R.
Jos A = {1, 2, 3, 4, 5} ja B = {1, 3, 5}, niin A × B = {(1, 1), (1, 3), (1, 5),..., (5, 5)}.
Tällöin pienempi kuin -relaatio "<" joukosta A joukkoon B on joukon A × B osajoukko:

"<" := {(1, 3), (1, 5), (2, 3), (2, 5), (3, 5), (4, 5)}.
Yhtäsuuruusrelaatio "=" taas tarkoittaa joukkoa

"=" := {(1, 1), (3, 3), (5, 5)}.

Katso myös

Ekvivalenssirelaatio

Lähteet

↑ Russell, Bertrand. 1948. Introduction to mathematical philosophy. London: George Allen & Unwin.

Kirjallisuutta

Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi II: Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku. Helsinki: Otakustantamo, 1969. ISBN 951-671-022-0

Aiheesta muualla

Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Relaatio Wikimedia Commonsissa

[1] Russell, Bertrand. 1948. Introduction to mathematical philosophy. London: George Allen & Unwin.

[1]