Reaaliluku

Reaalilukujen joukko ${\displaystyle \mathbb {R} }$  koostuu rationaaliluvuista ja irrationaaliluvuista. Rationaaliluvuksi kutsutaan lukua, jonka desimaalikehitelmä on päättyvä tai päättymätön jaksollinen, ja irrationaaliluvuksi lukua, jonka desimaalikehitelmä on päättymätön ja jaksoton. Esimerkiksi ${\textstyle {\frac {1}{4}}=0{,}25}$  ja ${\textstyle {\frac {1}{3}}=0{,}333\ldots }$  ovat rationaalilukuja, ja 0,1010010001... ja ${\textstyle {\sqrt {2}}=1{,}41421\ldots }$  ja ${\textstyle \pi =3{,}14159\ldots \,\!}$  ovat irrationaalilukuja. Reaaliluvut ja suoran pisteet vastaavat täysin toisiaan.

Vaikka tämä määritelmä kelpaa koulumatematiikkaan, se ei ole täsmällinen, koska nyt herää kysymys, mitä luku ja desimaalikehitelmä tarkoittavat. Siksi reaaliluvut määritellään nykymatematiikassa aivan toisesta lähtökohdasta.

Tarkastellaan abstraktia joukkoa ${\displaystyle \mathbb {R} }$ , jossa on määritelty abstrakti yhteenlasku ${\displaystyle +}$ , abstrakti kertolasku ${\displaystyle \cdot }$  (missä piste jätetään usein kirjoittamatta) ja abstrakti järjestysrelaatio ${\displaystyle \leq }$ . Algebrallinen struktuuri ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+,\cdot ,\leq )}$  on täydellinen järjestetty kunta eli reaalilukujen kunta, jos sillä on seuraavassa mainitut algebralliset ominaisuudet, järjestysominaisuudet ja täydellisyysominaisuus.

(A1) Yhteenlaskun vaihdantalaki: Kaikilla ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$  on ${\displaystyle a+b=b+a\,\!}$ .

(A2) Yhteenlaskun liitäntälaki: Kaikilla ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} }$  on ${\displaystyle a+(b+c)=(a+b)+c\,\!}$ .

(A3) Nollan olemassaolo: On olemassa sellainen reaaliluku ${\displaystyle 0\,\!}$ , että kaikilla ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$  on ${\displaystyle a+0=a\,\!}$ .

(A4) Vastaluvun olemassaolo: Jokaista reaalilukua ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$  kohti on olemassa sellainen reaaliluku ${\displaystyle a'\in \mathbb {R} }$ , että ${\displaystyle a+a'=0\,\!}$ . Merkitään ${\displaystyle a'=-a\,\!}$ .

(A5) Kertolaskun vaihdantalaki: Kaikilla ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$  on ${\displaystyle ab=ba\,\!}$ .

(A6) Kertolaskun liitäntälaki: Kaikilla ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} }$  on ${\displaystyle a(bc)=(ab)c\,\!}$ .

(A7) Ykkösen olemassaolo: On olemassa sellainen reaaliluku ${\displaystyle 1\,\!}$ , että kaikilla ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$  on ${\displaystyle a\cdot 1=a}$ .

(A8) Käänteisluvun olemassaolo: Jos ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$  ja ${\displaystyle a\neq 0\,\!}$ , niin on olemassa sellainen ${\displaystyle a'\in \mathbb {R} }$ , että ${\displaystyle aa'=1\,\!}$ . Merkitään ${\displaystyle a'=a^{-1}\,\!}$ .

(A9) Osittelulaki: Kaikilla ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} }$  on ${\displaystyle a(b+c)=ab+ac\,\!}$ .

(J1) Refleksiivisyys: Kaikilla ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$  on ${\displaystyle a\leq a}$ .

(J2) Antisymmetrisyys: Olkoon ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ . Jos ${\displaystyle a\leq b}$  ja ${\displaystyle b\leq a}$ , niin ${\displaystyle a=b\,\!}$ .

(J3) Transitiivisuus: Olkoon ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} }$ . Jos ${\displaystyle a\leq b}$  ja ${\displaystyle b\leq c}$ , niin ${\displaystyle a\leq c}$ .

(J4) Vertailullisuus: Kaikilla ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$  on ${\displaystyle a\leq b}$  tai ${\displaystyle b\leq a}$ .

(J5) Järjestyksen säilyminen yhteenlaskussa: Olkoon ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} }$ . Jos ${\displaystyle a\leq b}$ , niin ${\displaystyle a+c\leq b+c}$ .

(J6) Ei-negatiivisuuden säilyminen kertolaskussa: Olkoon ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ . Jos ${\displaystyle 0\leq a}$  ja ${\displaystyle 0\leq b}$ , niin ${\displaystyle 0\leq ab}$ .

Jos algebrallisella struktuurilla on ominaisuudet (A1)–(A9), niin kyseessä on kunta. Jos sillä on lisäksi ominaisuudet (J1)–(J6), niin se on järjestetty kunta. Paitsi reaaliluvut myös rationaaliluvut muodostavat järjestetyn kunnan. Tarvitaan siis vielä sellainen ominaisuus, joka on reaalilukujen joukolla ${\displaystyle \mathbb {R} }$  mutta ei ole rationaalilukujen joukolla ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ .

Joukon ${\displaystyle \mathbb {R} }$  epätyhjä osajoukko ${\displaystyle A\,\!}$  on ylhäältä rajoitettu, jos on olemassa sellainen reaaliluku ${\displaystyle m\,\!}$ , että kaikilla ${\displaystyle x\in A}$  on ${\displaystyle x\leq m}$ . Tällöin ${\displaystyle m\,\!}$  on joukon ${\displaystyle A\,\!}$  yläraja.

(T) Täydellisyys: Joukon ${\displaystyle \mathbb {R} }$  jokaisella epätyhjällä ylhäältä rajoitetulla osajoukolla on pienin yläraja. (Toisin sanoen, jokaisen tällaisen osajoukon ylärajojen joukossa on pienin luku.)

Joukolla ${\displaystyle \mathbb {Q} }$  ei ole täydellisyysominaisuutta. Esimerkiksi niiden rationaalilukujen joukko, joiden neliö on lukua 2 pienempi, on epätyhjä ja ylhäältä rajoitettu, mutta sillä ei ole (rationaalista) pienintä ylärajaa.

Kun rationaalilukujen joukko ${\displaystyle \mathbb {Q} }$  oletetaan tunnetuksi, reaalilukujen joukko ${\displaystyle \mathbb {R} }$  voidaan konstruoida käyttämällä Dedekindin leikkauksia tai Cauchyn jonoja. Edellinen tapa tarkoittaa havainnollisesti, että reaaliluku määritellään sen kaikkien rationaalisten alalikiarvojen joukkona. Jälkimmäinen tarkoittaa havainnollisesti, että reaaliluku määritellään kaikkina mahdollisina sitä kohti suppenevina rationaalilukujonoina.

Siis, kun ${\displaystyle \mathbb {Q} }$  oletetaan tunnetuksi, reaalilukujen aksioomajärjestelmälle (A1)–(A9), (J1)–(J6), (T) voidaan muodostaa malli, joten reaaliluvut "ovat olemassa". Voidaan todistaa, että kaikki tämän aksioomajärjestelmän mallit ovat keskenään isomorfisia, mikä havainnollisesti tarkoittaa, että niiden matemaattinen rakenne on täysin sama ja ne eroavat toisistaan vain merkintöjen osalta.

Cantorin diagonaalimenetelmällä voidaan osoittaa, että reaalilukujen joukko on ylinumeroituva.

• Kompleksiluku

• Browder, A.: Mathematical Analysis: An Introduction. Springer, 1996.
• Ebbinghaus, H-D.; Hermes, H.; Hirzebruch F.; Koecher, M.; Mainzer, K.; Neukirch, J.; Prestel, A.; Remmert, R.: Numbers. Corrected 3rd printing. Springer, 1995.
• Lindelöf, E.: Johdatus korkeampaan analyysiin. 4. p. WSOY, 1956.
• Merikoski, Jorma; Halmetoja, Markku; Tossavainen, Timo: Johdatus matemaattisen analyysin teoriaan. Porvoo Helsinki: WSOY, 2004. ISBN 951-0-29570-1
• Myrberg, Lauri: Differentiaali- ja integraalilaskenta korkeakouluja varten. Osa I. 7. p. Kirjayhtymä, 1999. ISBN 951-26-0936-3.
• Myrberg, Lauri: Differentiaali- ja integraalilaskenta korkeakouluja varten. Osa II. 4. p. Kirjayhtymä, 1995. ISBN 951-26-0994-0.
• Rudin, W.: Principles of Mathematical Analysis. 3rd ed. McGraw-Hill, 1976. ISBN 0-07-054235-X.
• Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi II – Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku. Helsinki: Otakustantamo, 1969. ISBN 951-671-022-0
• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.

• Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi II – Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku. Helsinki: Otakustantamo, 1969. ISBN 951-671-022-0