Kongruenssi (lukuteoria)

Kongruenssirelaatio merkitsee sitä, että kahdesta luvusta jää sama jakojäännös, kun ne jaetaan samalla kolmannella luvulla. Kongruenssille käytetään yleisesti merkintää ${\displaystyle a\equiv r\ {\mbox{(mod b)}}\ }$, joka luetaan: a on kongruentti r:n kanssa modulo b.^[1]

Kahden kokonaisluvun kongruenssi voidaan määritellä jakoyhtälön

${\displaystyle a,\ b\in \mathbb {Z} \ }$

${\displaystyle a\equiv r\ {\mbox{(mod b)}}\ }$, jos a = kb + r jollakin kokonaisluvulla k, toisin sanoen b|(a-r), toisin sanoen erotus a-r on jaollinen b:llä.

Kongruenssi voidaan myös yleistää kahdelle mielivaltaiselle reaaliluvulle seuraavasti: jos ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ,y\not =0}$, on ${\displaystyle x{\mbox{(mod y)}}=x-y\lfloor x/y\rfloor +ny}$ jollakin ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ ja ${\displaystyle x{\mbox{(mod 0)}}=x}$

Kongruensseja voidaan käyttää jaksollisten funktioiden merkitsemiseen. Esimerkiksi koska ${\displaystyle \tan x=\tan(x+\pi )}$, voidaan kirjoittaa ${\displaystyle \tan x\equiv \tan x\ {\mbox{(mod }}\pi )}$.