Euklidinen avaruus

Esimerkiksi vektoriavaruuden ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$  alkioita eli vektoreita ovat reaalilukukolmikot ${\displaystyle (x,y,z)}$ . Kahden tällaisen summa lasketaan koordinaateittain:

${\displaystyle (1,2,3)+(20,30,40)=(21,32,43)}$ .

Skalaarilla eli reaaliluvulla kerrottaessa jokainen vektorin koordinaatti kerrotaan annetulla reaaliluvulla, esimerkiksi

${\displaystyle 7\cdot (1,2,3)=(7,14,21)}$ .

Tämä siis tuottaa skalaarista ja vektorista vektorin.

Skalaaritulossa eli pistetulossa sen sijaan lasketaan kahdesta vektorista skalaari,

${\displaystyle (a,b,c)\cdot (x,y,z)=ax+by+cz}$ .

Tämän skalaaritulon avulla voidaan määrittää avaruuteen ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$  normi eli pituusmitta:

${\displaystyle \|(a,b,c)\|={\sqrt {(a,b,c)\cdot (a,b,c)}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$ .

Tämä vastaa Pythagoraan lausetta. Kahden vektorin ${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{3}}$  etäisyys määritellään niiden erotuksen normiksi:

${\displaystyle d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|}$ .

Vastaavat säännöt pätevät kaikissa vektoriavaruuksissa ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ .

Euklidinen avaruus määritellään topologisesti tuloavaruutena, eli ${\displaystyle \mathbb {R} }$ :n karteesisena tulona itsensä kanssa n kertaa. Tuloavaruuden pisteet ovat järjestettyjä n-jonoja, eli niissä on n kappaletta alkioita. Esimerkiksi

${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}).}$ 

Sen voi määritellä myös lineaarialgebran tapaan vektoriavaruutena, jolloin avaruuden kannan muodostavat n kappaletta kohtisuorasti toisiaan vastaan olevaa yksikkövektoria:

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}=(1,0,0,\ldots ,0),}$ 

${\displaystyle \mathbf {e} _{2}=(0,1,0,\ldots ,0),}$ 

${\displaystyle \vdots }$ 

${\displaystyle \mathbf {e} _{n}=(0,0,0,\ldots ,1).}$ 

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ :n mielivaltainen vektori merkitään

${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},...,x_{n}),}$ 

missä reaaliluvut ${\displaystyle x_{i}}$  ovat vektorin koordinaatit. Vektori voidaan esittää myös yksikkövektoreiden avulla summana:

${\displaystyle \mathbf {x} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {e} _{i}.}$ 

Lukua 0 vastaa nollavektori

${\displaystyle \mathbf {0} =\underbrace {(0,0,\ldots ,0)} _{n\ {\rm {kpl}}}.}$ 

Kahden ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ :n vektorin summa on määritelty laskemalla vektorit koordinaateittain yhteen:

${\displaystyle \mathbf {x} +\mathbf {y} =\sum _{i=1}^{n}(x_{i}+y_{i})\mathbf {e} _{i}.}$ 

Vakiolla kerrottaessa jokainen vektorin koordinaateista kerrotaan erikseen:

${\displaystyle a\mathbf {x} =\sum _{i=1}^{n}(ax_{i})\mathbf {e} _{i}.}$ 

Vektorin pituuden ja vektoreiden välisen kulman laskemiseksi tarvitsee määritellä pistetulo. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ :n vektoreille ${\displaystyle \mathbf {x} }$  ja ${\displaystyle \mathbf {y} }$  se on

${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}.}$ 

Vektorin pituus eli euklidinen normi on neliöjuuri sen sisätulosta itsensä kanssa:

${\displaystyle \|\mathbf {x} \|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i})^{2}}}.}$ 

Euklidinen metriikka määrittää kahden pisteen etäisyyden euklidisessa avaruudessa. Sitä kutsutaan myös etäisyysfunktioksi, ja se on oikeastaan yksi pythagoraan lauseen muoto. Pisteille ${\displaystyle x}$  ja ${\displaystyle y}$  se on

${\displaystyle d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}}$ 

Kulma vektoreiden ${\displaystyle \mathbf {x} }$  ja ${\displaystyle \mathbf {y} }$  välillä lasketaan pistetulon ja normin avulla:

${\displaystyle \theta =\cos ^{-1}\left({\dfrac {\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} }{\|\mathbf {x} \|\|\mathbf {y} \|}}\right).}$ 

• Eukleides

• Väisälä, Jussi: Topologia I. Helsinki: Limes ry, 2002. ISBN 951-745-192-X
• Martio, Olli: Vektorianalyysi. Helsinki: Limes ry, 2004. ISBN 951-745-205-5
• Mendelson, Bert: Introduction to Topology. Dover Publications, 1990. (englanniksi)

• Kivelä, Simo K.: Algebra ja geometria. Espoo: Otatieto, 1989. ISBN 951-672-103-6
• Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi I – Vektorialgebra ja analyyttinen geometria. Helsinki: Otakustantamo, 1969. ISBN 951-671-067-0
• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).